高频热点14 斜率之积为定值的问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点14　斜率之积为定值的问题 基础巩固 1. 直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点.若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点 (　　) A. (-3,0) B. (0,-3) C. (3,0) D. (0,3) 2. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,过双曲线上一点M作直线MA,MB交双曲线于A,B两点,且斜率分别为k1,k2.若直线AB过原点,则k1k2的值为 (　　) A. 2 B. 3 C. D. 3. (多选)如图,已知椭圆C:+=1,A,B为椭圆的左、右顶点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,l是椭圆的右准线,P是椭圆上一点,直线AP交l于点M,直线BP交l于点N.则(　　) (第3题图) A. kAP·kBP=- B. ·=6 C. 以MN为直径的圆恒过定点 D. 线段MN的长为定值 4. 设椭圆+=1(a>b>0)长轴的端点分别为A,B,点C为椭圆上异于A,B的一点.若将△ABC的三个内角记为A,B,C,且满足3tanA+3tanB+tanC=0,则tanA·tanB的值为　　　　,椭圆的离心率为　　　　.  5. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在C上,且|PF1|·|PF2|=10. (1) 求C的方程. (2) 斜率为-3的直线l与C交于A,B两点,点B关于原点的对称点为D.若直线PA,PD的斜率存在且分别为k1,k2,求证:k1k2为定值. 6. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且C过点. (1) 求椭圆C的方程; (2) 若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,求证:直线l的斜率为定值. 综合应用 7. 已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线y=kx与Γ交于A,B两点(点A在第一象限),线段AF的中点为P,O为坐标原点.若=,2=,则Γ的两条渐近线的斜率之积为 (　　) A. -4-2 B. -3-2 C. 3-2 D. -4+2 8. (多选)已知F为椭圆C:+=1的左焦点,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则 (　　) A. +的最小值为2 B. △ABE面积的最大值为 C. 直线BE的斜率为k D. ∠PAB为钝角 9. 已知F(,0)为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为AB的中点,O为坐标原点.若△OFP是以OF为底边的等腰三角形,且△OFP外接圆的面积为,则椭圆C的长轴长为　　　　.  10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x与椭圆E相交于A,B两点,AB=4,点C,D在椭圆E上,且异于A,B两点,直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N. (1) 求a,b的值; (2) 求证:直线MN的斜率为定值. 　(第10题图) 拓广探索 11. 设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,给定下列三个条件:① kOAkOB=-2; ② ·=-4;③ 直线l过定点(2,0).如果将上面①②③中的任意一个作为条件,余下两个作为结论,试写出两个真命题:　　　　;　　　　.(写出序号即可)  12. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过A,B两点,O为坐标原点. (1) 求椭圆C的标准方程. (2) 设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且与圆O:x2+y2=3相交于M,N两点,试问:直线OM与ON的斜率之积kOMkON是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. $$ 高频热点14　斜率之积为定值的问题 1. A　【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以·=.又=2x1,=2x2,所以y1y2=6.设直线l:x=my+b,代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线l过定点为(-3,0). 2. B　【解析】 由题意知,e===2⇒b2=3a2,则双曲线方程可化为3x2-y2=3a2,设A(m,n),M(x0,y0)(x0≠±m),则B(-m,-n),所以k1·k2=·===3. 3. ABC　【解析】 由题意A(-2,0),B(2,0),设P(x0,y0),则kAP·kBP=·===-,所以选项A正确;设AP:y=k(x+2),由kAP·kBP=-,则BP:y=-(x-2),令x=4,易得M(4,6k),N,所以·=(-5,-6k)·=15-9=6,选项B正确;以MN为直径的圆