高频热点13 抛物线焦点弦模型的运用-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点13　抛物线焦点弦模型的运用 基础巩固 1. (2022年·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0).若=,则等于 (　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 2. 已知斜率为k的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C的准线上一点M(-1,-1)满足·=0,则|AB|等于 (　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (多选)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点.则下列结论中正确的有 (　　) A. 抛物线C的准线方程为y=-1 B. 线段PQ的长度最小为4 C. 点M的坐标可能为(3,2) D. ·=-3恒成立 4. 已知抛物线C的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点.若+=2,则符合条件的抛物线C的一个方程为　.  (写出一个即可) 5. 已知过点M的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且·=-3,其中O为坐标原点. (1) 求p的值; (2) 当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程. 6. 已知抛物线C:x2=2py(p>0),圆O:x2+y2=1. (1) 若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求; (2) 若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求的最小值及相应p的值. 综合应用 7. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过点F且倾斜角为30° 的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　) A. B. C. D. 8. (多选)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-2,焦点为F,O为坐标原点,A(x1,y1),B(x2,y2)是C上两点.则下列说法中正确的有 (　　) A. 点F的坐标为(0,2) B. 若|AB|=16,则AB的中点到x轴距离的最小值为8 C. 若直线AB过点(0,4),则以AB为直径的圆过点O D. 若直线OA与OB的斜率之积为-,则直线AB过点F 9. 过抛物线y2=12x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设|AF|=m,|BF|=n.当m=4时,n=　　　　;m-的最小值为　　　　.  10. (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1) 若+=4,求l的方程; (2) 若=3,求. 拓广探索 11. 已知抛物线C:y=x2,过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线y=x-2于E,F两点,则|EF|的最小值为(　　) A. B. C. D. 12. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)满足下列三个条件中的一个:① 抛物线C上一动点Q到焦点F的距离比到直线m:x=-1的距离大1;② 点A(2,3)到焦点F与到准线l:x=-的距离之和等于7;③ 该抛物线C被直线n:x-y-2=0所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题. (1) 求抛物线C的标准方程; (2) O为坐标原点,直线l1与抛物线C交于M,N两点,直线OM的斜率为k1,直线ON的斜率为k2,当k1·k2=-4时,求△OMN面积的最小值. $$高频热点13　抛物线焦点弦模型的运用 1. B　【解析】 由题意得,F(1,0),则==2,即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,不妨设点A在x轴上方,代入得,A(1,2),所以==2.故选B. 2. C　【解析】 易知p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,y1y2=-4,=(x1+1,y1+1),=(x2+1,y2+1),因为·=0,所以(x1+1)(x2+1)+(y1+1)(y2+1)=0,化简得x1+x2+y1+y2=1,设A,B中点坐标为(x0,y0),则x0+y0=　①,又由直线的斜率公式得k=kAB====,k=,所以=,即=2(x0-1)　②,由①,②解得x0=,所以=x1+x2+p=2x0+p=5,答案选C. 3. BCD　【解析】 因为焦点F到准线的距离为2,所以抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,A错误;当线段PQ垂直于x轴时长度最小,此时|PQ|=4,B正确;设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ的方程为x=my+1.联立得方程组消去x并整理,得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,则y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以M(2m2+1,2m).当m=1时,可得M(3,2),C正确;可得y1y2=-4,x1x2=(my1+1)(my2