高频热点12 设而不求优化解析几何的运算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点12　设而不求优化解析几何的运算 基础巩固 1. 已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率为,过点F的直线l交椭圆于A,B两点.若AB的中点为(1,1),则直线l的斜率为 (　　) A. - B. - C. - D. 1 2. 过双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点P作双曲线C的切线l,若直线OP与直线l的斜率均存在,且斜率之积为,则双曲线C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)已知直线l:x=ty+2与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点是M(m,2),则 (　　) A. t= B. m=3 C. =8 D. 点(-2,2)在以AB为直径的圆内 4. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),某条过点P的弦恰好以P为中点,则此弦所在的直线方程为　　　　　　.  5. 直线l:y=2x-p与抛物线M:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=5. (1) 证明l经过M的焦点,并求p的值; (2) 若直线l'与M交于C,D两点,且弦CD的中点的纵坐标为-3,求l'的斜率. 6. 已知椭圆C:+=1(a>b>0),该椭圆经过点B(0,2),且离心率为. (1) 求椭圆C的标准方程; (2) 设M是圆x2+y2=12上任意一点,由点M引椭圆C的两条切线MA,MB,当两条切线的斜率都存在时,求证:两条切线斜率之积为定值. 综合应用 7. 已知F为椭圆C:+=1的右焦点,点A是直线x=3上的动点,过点A作椭圆C的切线AM,AN,切点分别为M,N,则|MF|+|NF|-的值为 (　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. (多选)设A,B是抛物线y=x2上的两点,O是坐标原点,下列结论中成立的有 (　　) A. 若OA⊥OB,则≥2 B. 若OA⊥OB,则直线AB过定点(1,0) C. 若OA⊥OB,则点O到直线AB的距离不大于1 D. 若直线AB过抛物线的焦点F,且=,则|BF|=1 9. 已知椭圆E:+y2=1的左焦点为F,过点P(2,t)作椭圆E的切线PA,PB,切点分别是A,B,则△ABF面积的最大值为　　　　.  10. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,且经过点M(4,),双曲线的右焦点F2到渐近线的距离是,不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P,Q两点(异于点A1,A2),点P关于原点O的对称点为S. (1) 求双曲线C的标准方程. (2) 若直线A1S与直线A2Q相交于点T,直线OT与直线PQ相交于点R,求证:在双曲线上存在定点E,使得△RME的面积为定值.并求出该定值. 拓广探索 11. (多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A和B,P是椭圆上不同于点A,B的一点.设直线AP,BP的斜率分别为m,n,则当++(ln+ln)取最小值时,椭圆C的离心率不可能是 (　　) A. B. C. D. 12. 已知+=1,设直线l与椭圆C相切于点A,过点A作关于原点O的对称点B,过点B作BM⊥l,垂足为M,求△ABM面积的最大值. 　(第12题图) $$ 高频热点12　设而不求优化解析几何的运算 1. A　【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为,由题意可得x1+x2=2,y1+y2=2,将A,B的坐标的代入椭圆的方程:作差可得+=0,所以=-·=-,又因为离心率e==,c2=a2-b2,所以=,所以-=-,即直线AB的斜率为-,故选A. 2. C　【解析】 设P(x0,y0),由于双曲线C在点P(x0,y0)处的切线方程为-=1,故切线l的斜率k=;因为k·kOP=,则·=,则=,即双曲线C的离心率e==,故选C. 3. AB　【解析】 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8ty-16=0,所以y1+y2=8t,又线段AB的中点为M(m,2),所以=4t=2,解得t=,A正确;对于B,因为M(m,2)在直线l:x=y+2上,所以m=×2+2=3,B正确;对于C,因为l:x=y+2过点(2,0),(2,0)为抛物线y2=8x的焦点,所以=x1+x2+4=(y1+y2)+8=10,C错误;对于D,设P(-2,2),则==5,又=10,所以=,所以AP⊥BP,所以P(-2,2)在以AB为直径的圆上,D错误.故选AB. 4. 2x+3y-12=0　【解析】 设过点P的直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中点M(x0,y0),则将两点代入椭圆方程作差可得:4(x1-x2)·2x0+9(y1-y2)·2y0=0,当点M与点P重合时,由x0≠0,y0≠0,可得x1≠x2,故kAB==-=-.所以直线方程为y-2=-(x-3)