高频热点10 巧用定义及几何特征优化解析几何的运算-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点10　巧用定义及几何特征优化解析几何的运算 基础巩固 1. 已知点A(0,-),B(2,0),点P为函数y=2图象上的一点,则PA+PB的最小值为(　　) A. 1+2 B. 7 C. 3 D. 1-2 2. 已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上存在点P使得线段PF1的垂直平分线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3. (多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且点A,B在准线上的射影分别为点A1,B1.则下列结论中正确的有 (　　) A. 若直线l⊥x轴,则|AB|=2 B. x1·x2= C. y1·y2=-4 D. ∠A1FB1= 4. 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若=2,=,则C的方程为　　　　.  5. 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|.若=2,求|AF|. 6. 过双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A,B两点,设Γ的右焦点为F2. (1) 若△ABF2是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程; (2) 若存在直线l,使得AF2⊥BF2,求Γ离心率的取值范围. 综合应用 7. 抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为 (　　) A. + B. 9+ C. + D. 9+ 8. (多选)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上.则下列说法中正确的有(　　) A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时,|QF1|+|QP|的最大值为4+ C. 若QF2⊥F1F2,QF2=F1F2,则离心率为-1 D. 若+取最小值,则离心率为 9. 已知P为椭圆C:+=1上的一个动点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在点P处的切线距离为d.若|PF1|·|PF2|=,则d=　　　　.  10. 已知椭圆L:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2. (1) 求椭圆L的标准方程; (2) 过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程及|AB|. 拓广探索 11. 已知点F为抛物线y2=4x的焦点,M(-1,0),N为抛物线上一动点,当最小时,点N恰好在以M,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的渐近线的斜率的平方为 (　　) A. 3+2 B. 2+2 C. D. 12. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0). (1) 求双曲线C的方程; (2) 若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围. $$高频热点10　巧用定义及几何特征优化解析几何的运算 1. B　【解析】 由y=2,得-x2=1(y>0).设点A'(0,),即点A'(0,),A(0,-)为双曲线-x2=1的上、下焦点.由双曲线的定义得PA-PA'=4,则PA+PB=4+PA'+PB≥4+BA'=7. 2. C　【解析】 如图,因为线段PF1的垂直平分线恰好经过焦点F2,所以==2c,当点P位于椭圆的右顶点时,最小为a-c,所以2c≥a-c;|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c>0.可得c<a≤3c,所以e=∈,故选C. 　(第2题答图) 3. CD　【解析】 抛物线C的焦点F(1,0),准线方程x=-1,显然l不垂直于y轴,设l的方程为x=my+1,由得,y2-4my-4=0,y1,y2是此方程的两个根,选项A,直线l⊥x轴,m=0,y1=2,y2=-2,则|AB|=4,即选项A错误;选项B,y1·y2=-4,则x1·x2=·==1,即选项B错误;选项C,y1·y2=-4,即选项C正确;选项D,如图中,由抛物线的定义知,|AF|=|A1A|,所以∠AA1F=∠AFA1,又AA1∥x轴,所以∠AA1F=∠A1FO, 所以∠AFA1=∠A1FO=∠AFO,同理可得,∠BFB1=∠B1FO=∠BFO,所以∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=(∠AFO+∠BFO)=,即选项D正确.故选CD.