高频热点9 球的“接” “切” “截”问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频热点专题练习word

高频热点9　球的“接”“切”“截”问题 基础巩固 1. 已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 (　　) A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 2. (2022·新高考Ⅱ卷)正三棱台高为1,上、下底边长分别为3和4,所有顶点在同一球面上,则球的表面积是 (　　) A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 3. (多选)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论中正确的有 (　　) (第3题图) A. 圆柱的体积为4πR3 B. 圆锥的侧面积为πR2 C. 圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 4. 在120°的二面角内放置一个小球,它与二面角的两个面相切于A,B两点,这两个点的距离AB=5,则小球的半径为　　　　.  5. 已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积. 6. 球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,截得的圆为球冠的底,与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高.设球冠底的半径为r,球冠的高为h,球冠底面圆周长为C,球冠所在球的半径为R.已知球冠表面积公式为S=2πRh,当S=65 000π,C=500π时,求的值及球冠所在球的表面积. 综合应用 7. 在菱形ABCD中,AB=4,∠A=60°,将△ABD沿对角线BD折起,使得二面角A⁃BD⁃C的大小为60°.则折叠后所得四面体ABCD的外接球的半径为 (　　) A. B. C. D. 8. (多选)如图,已知圆锥OP的底面半径r=,侧面积为2π,内切球的球心为O1,外接球的球心为O2,则下列说法中正确的有 (　　) 　(第8题图) A. 外接球O2的表面积为16π B. 设内切球O1的半径为r1,外接球O2的半径为r2,则r2=3r1 C. 过点P作平面α截圆锥OP的截面面积的最大值为2 D. 设圆锥OP有一内接长方体,该长方体的下底面在圆锥底面上,上底面的四个顶点在圆锥的侧面上,则该长方体体积的最大值为 9. 已知三棱锥P⁃ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形.若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥P⁃ABC的内切球的表面积为　　　　.  10. 已知三棱锥P⁃ABC三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=2, M,N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点,求点M,N间距离的最小值. 拓广探索 11. 如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1 截球O的截面积为　　　　.  (第11题图) 12. 农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯.粽子又称粽粒,古称角黍,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图粽子形状的六面体.若该六面体内有一球,求该球体积的最大值. (第12题图) $$高频热点9　球的“接”“切”“截”问题 1. A　【解析】 设圆O1的半径为r,球的半径为R.依题意,得πr2=4π,所以r=2.由正弦定理可得AB=2rsin60°=2,所以OO1=AB=2.根据圆截面性质OO1⊥平面ABC,所以OO1⊥O1A,R=OA===4,所以球O的表面积S=4πR2=64π.故选A. 　(第1题答图) 2. A　【解析】 设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2,所以2r1=,2r2=,即r1=3,r2=4,设球心到上下底面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,所以d1=,d2=,由正三棱台高为1,故=1或d1+d2=1,即|-|=1或+=1,解得R2=25符合题意,所以球的表面积为S=4πR2=100π.故选A. 3. BD　【解析】 依题意圆柱的底面半径为R,则圆柱的高为2R,圆柱的体积为πR2×2R=2πR3,所以A错误;圆锥的母线长为R,圆锥的侧面积为πR×R=πR2,所以B正确;因为圆柱的侧面积为4πR2,圆锥表面积为πR2+πR2,所以C错误;因为V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,所以V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,所以D正确.故选BD. 4. 5　【解析】 如图,在△ABC中,AC=BC,AB=5,∠ACB=120°,且OA⊥AC,OB⊥BC,所以∠AOB=60°,所以△AOB是等边三角形,OA=OB=AB=5. 　(第4题答图) 5. 【解析】 因为AB∶