1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示. 2.掌握空间向量的数量积及其运算律. 3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题. W= |F| |s| cos 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题. 回 顾 复习引入 已知两个非零向量 , 作 , ，则 叫做向量 的夹角. 1 向量的夹角: O A B 已知两个非零向量 ,它们的夹角为 ,我们把 叫做向量 的数量积,记做 ,即 = . 2 平面向量数量积: 3 平面向量数量积的性质 4 平面向量数量积的运算律 （交换律） （分配律） （数乘结合律） 空间向量的夹角 空间向量的数量积 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. ③特别地，a·a＝____或|a|＝ ④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______ ⑤|a·b|≤|a|·|b| 空间向量的数量积的性质 a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 ＝ ||cos< > 解惑提高 思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。 类似地，向量在向量 上的投影有什么意义？ 向量 向向量的投影呢？向量 向向量 的投影呢？ 投影向量 投影向量 内， ，。 空间向量的数量积 ①(λ)·＝ ； ②交换律：·＝ ； ③分配律：·(＋)＝ . λ(·) · ·＋· 运算律 注意：向量的数量积不满足结合律 C' D' B' A' C D A B ◆练习 已知正方体AC'边长为1,求： 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。 θ B1 B O A 几何意义 探究 利用数量积求夹角 例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量 夹角的大小. 思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义 反思感悟 利用向量数量积求夹角问题的思路 (1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解; (2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>= 求cos<a,b>,最后确定<a,b>. 探究 利用数量积求距离或长度 例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 【练习1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求 【解】 （1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？ （2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？ （3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？   小试身手 2.在空间四边形 中， ， ，则 ， 的值为 ( @42@ ). A. B. C. D. D [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 3.在空间四边形 中， ____. 0 [解析] 原式 <m></m> . 4.如图,在三棱柱 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> , <m></m> 是 <m></m> 的中点, <m></m> ,求 <m></m> 的长. [解析] 设 <m></m> , <m></m> , <m></m> , 则 <m></m> , <m></m> . 因为 <m></m> , 所以 <m></m> <m></m> <m></m> . 课堂小结 感谢观看 (判断向量垂直) (向量的模长公式) (向量的夹角公式) = 解 (方法1)因为,所以∠D1AC即为向量的夹角. 因为△D1AC为等边三角形,所以∠D1AC=, 即<>=.所以向量的夹角为. (方法2