函数专题-指对“六金花”函数的十大应用j讲义-2024届高三数学一轮复习

指对“六金花”及其十大应用 本节我们介绍几个重要的函数及其图象和性质，这些函数或是由熟悉的指对函数组合而成 对于第一类由指对函数组合而成的六个重要函数，它们都具有良好的函数性质和图像，是 高考考察的重点对象，本节将系统梳理其重要的性质，并通过例题来展示其命题手法， 一，基本原理 f(x)=xe" f(x)= f(x f(x)=xInx Inx f(x)= f(x)= Inx 上述六个指数或对数函数组合出的新函数及其图象是非常重要的.需要注意的是，对于 函数f()=xnx与f)=,x在x=0处的极限值，需要由洛必达法则米计算，此处计 Inx 算一个以展示其原理。 limxInx lim nx=lim上=im(-x)=0,故其图象在x=0处趋近于0. 01 1 除此之外，还需注意函数f)=nx与函数∫)=的图象在正无穷远的特征，其它们 图象都是上去了之后就不再下穿x轴。 最后，要注意到f四)=血x与函数f:)=血x+“之间的基本关系，后者实际上是前者向 上平移一个单位得到，在实际应用中，后者出现的频率也相当之高. 下面我们看到有关它们的十大应用，即： 1图像问图 2.方程根的个数 3.整数解问题 4恒成立问题 5.凸凹反转 6.比较大小 7.极值点偏移 8.函数同构 9.朗博不等式 10.嵌套函数 1.图像问题 例1.函数/=血r的图象大致为（) 例2。函数了-的部分图像大致是《） B. D. 2.方程根的个数 例3.已知a>0且a≠1，函数f()=（x>0). a (1)当a=2时，求f(x的单调区间； (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 3.整数解问题 例4.已知偶函数f(满足f(4+x刘=f八4-，f(0)=-1,且当x∈(0,4时，fx)=x 若关于x的不等式f(x>a在-48,48]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是 () A.（-1,0 D. In2 In3 23 4.恒成立问题 例5.己知当x∈R时，均有不等式ae'-2ae+x≥0成立，则实数a的取值范国为 5.凸凹反转 凸凹反转是证明不等式的一种技巧，欲证明f(x)>0,若可将不等式左端f(x)拆成 g(x)>h(x),且g(x)>h(x)的话，就可证明原不等式成立.通常情况，我们一般选 取g(x)为上凸型函数，h(x)为下凹型函数来完成证明.于是，这就需要我们熟悉高中阶段 常见的六个具有这样特点的函数关于上述六个函数的性质和图像的应用在之前已经讲过， 本节主要的目标就是米展示凸凹反转技巧的基本应用手法和命题技术 例如在上面六个函数中，我们可以选取凸函数f(x)=xlnx,求导可得：f(x)=lnx+1, 微可符)在@的上减，（白+网琳，于是人6闭=白=-。 再考虑門质数8)=二>0，则g)=。二，故g)在：=1处取科最大植，甲 g)=g0）=】.这样可得g-2>f,即上-2>xnx,将这个不等式包装一 2 下就得到了下面这道2013年高考真题 例6.设函数f(x)=aenx+ ber-1 ，曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切线为 y=e(x-1)+2. (1)求a,b: (2)证明：f(x)>1. 例7.设函数f=hx+9-x. (1)当a=-2时，求f(x)的极值： 2)当：=1时，证明：f己+>0在@+o)上相成立. 6.比较大小 例8.若2+h2=3+n3=5+ 2 3 5则(0 A.a In 2 b In 3 cIn 5 B.c In 5 b In 3>a ln 2 C.a ln 2 c In 5>b In 3 D.c In 5 a ln 2 b In 3 例9.已知0<a<4,0<b<2,0<c<3,且16lna=a2ln4,4lnb=b2ln2,9lnc=c2ln3,则 （) A.cx bxa B.c>a>b D.b c>a 例10.已知实数a,b,ce(0,1),且a=2022e-02，b=2023e-2023，c=2024e-3024,则() A.a<h<e B.e<a<h C.b<c<a D.c<b<a 7.极值点偏移 例1L.己知函数f(x)=xe,x∈R. (1)求函数f(x)的单渊区间： (2)如果x1≠x2,且f(x)=f(x2)，证明：x+x2>2. 8.函数同构 解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为∫[gx门>∫[h(x门的 结构，f(x)即为外层函数，其单调性易于研究常见变形方式：①xe=e+血x；② E=ehr,gx=e;④x+lnx=h(xe,回x-lnx=ng 1.直接变形： (1)积型：ae“≤blnb→a·e≤lnbe→f(x=xe(同左)： →elne≤blnb→f（x)=xlnx(同右)： →a+lna≤lnb+In Inb→f(x=x+ln