专题4.7 定弦定角（隐圆压轴四）（题型专练）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题4.7 定弦定角 解题技巧：构造隐圆 定弦定角解决问题的步骤： （1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。 （2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、） （3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置 （4）计算隐形圆的半径 （5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来 （6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径 【典例1】如图，已知矩形ABCD． （1）如图①，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝45°的点P的轨迹； （2）如图②，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝90°的点P的轨迹； （3）如图③，请在矩形ABCD的内部或边上画出使∠APB＝120°的点P的轨迹． 【变式1-1】（秋•潜山市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 【变式1-2】如图，正方形ABCD中，AB＝2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为 　． 【变式1-3】（广西模拟）如图，AC为边长为的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（宜兴市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【变式1-5】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　） A．3 B．1+ C．1+3 D．1+ 【典例2】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4﹣3 【变式2-1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　． 【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．2﹣2 B． C．4 D．2 【变式2-2】（柳南区校级模拟）如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为　　． 【变式2-3】【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC． （1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由． （2）若BC＝2，求弦AC的最大值． 【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　　． 【变式2-4】（灌南县校级月考）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题： 下面让我们一起尝试去解决： （1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　 　． （2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 　 　． （3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？ 【变式2-5】（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 　　． 【典例3】如图，⊙O半径为6，弦AB＝6，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　） A．6 B．9 C．6 D．9 【变式3-1】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线