专题16 与旋转有关的压轴题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年九年级数学上册重难点突破 专题16 与旋转有关的压轴题 综合与实践课上，李老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动． 数学兴趣小组将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形按图的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，延长交于点该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：, 【初步探究】 (1)如图1，直接写出线段和的关系：______． (2)如图2，当时，则 ______． 【深入探究】 (3)如图3，当时，连接，兴趣小组认为不仅（1）中的结论仍然成立，而且在旋转过程中,的度数不发生变化，请给出推理过程并求出的度数． 【拓展延伸】 (4)如图3，试探究线段，之间是否存在某种特定的数量关系，若存在，直接写出数量关系式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由条件根据三角形全等判定定理得，可证； （2）利用平行的性质．两线平行，内错角相等，结合条件易得； （3）类比上面思路，通过构建三角形全等推出，进而易得， （4）根据（3）的结论，推导出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，化简即可得到答案． 【详解】（1）由题意得， ，，， ， ，， 在中，， ， ，即， 故答案为：. （2），， ， 又， ,即， 故答案为：. （3）如图，过点作，交于点， 由（1）易知， ， ， ， 又， 易得， ， 又， ， 即； （4）存在，， 理由如下：由（3）可知，， ， 是等腰直角三角形， ， ． （1）观察发现 如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P填空： ①线段与的数量关系是______； ②的度数为______． （2）深入探究 如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）拓展应用 如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到，进而利用证明，由此即可得到；②由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出 （2）同（1）证明得到，，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， ； 故答案为：； ②∵ ∴， ，， ； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ∵ ， ， ， ， ， ∴（1）中的结论仍然成立；    （3）， 是等边三角形， ∴， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，    ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ∴ ． 在中，由勾股定理得， ． 1．综合与实践：课堂上，小明和同学们以“图形的旋转与面积”为主题开展以下数学活动． (1)操作判断： 如图1，正方形的边长为m．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接．过点E作，交的延长线于点F，易证，从而得到的面积为______；（用含m的代数式表示） (2)迁移探究： 如图2，在矩形中，．将对角线绕点C顺时针旋转得到线段，连接．请按要求作出图形，用含m的代数式表示的面积，并说明理由； (3)拓展应用： 在等腰三角形中，，的面积为10，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．直接写出的面积． 2．【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： (1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______． (2)【迁移探究】如图2，将（1）中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系． (3)【拓展应用】如图3，在中，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 3．下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段： 【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作，．其中，，，．现固定三角板，将三角板绕点逆时针旋转，旋转角记为，射线与射线交于点，在射线上取一点，使，连接CQ． (1)【特例探究】如图2，当时，直接写出和的数量关系和位置关系． (2)【归纳证明】如图3，当点在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)【类比迁移】当点在线段延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由． (4)【拓展应用】连接．若，的面积等于，请直接写出的长． 4．综合与实践 问题情境：如图1，在中，，，D，E分别是，的中点，连接． (1)如图2，将绕着点C逆时针旋转，