第二章 一元二次函数、方程与不等式（章末复习）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

一元二次函数、方程与不等式 章末复习 第二章 一元二次函数、方程与不等式 本章知识结构 知识梳理 1.一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.分式不等式与等式不等式： [注：] [注：] 若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零. 知识梳理 3.三个“二次”间的关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根() 有两个不相等的实数根 没有实数根 的解集 或 的解集 知识梳理 4.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 知识梳理 5.不等式的性质 (1)对称性： (2)传递性： (3)同向可加性： (4)可乘性： (5)可乘方性： (6)可开方性： 知识梳理 6.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件：. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号. (3)其中 叫做正数的算术平均数， 叫做正数的几何平均数. 7.两个重要的不等式 (1)，当且仅当时取等号. (2)，当且仅当时取等号. 2 知识梳理 8.利用基本不等式求最值 (1)已知都是正数，如果积等于定值，那么当时，和有最小值 . (2)已知都是正数，如果和等于定值，那么当时，积有最大值 . 9.常用结论 (1)证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. (2)有关分式的性质 ①若，则；(). ②若，则. 2 知识梳理 10.常用结论 (1).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. (2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 练习 题型一：三个“二次”间的关系 例1.(多选)(2023·枣庄调研)已知关于的不等式的解集是，则( 　) 解析：因为关于的不等式的解集是，所以是一元二次方程的两个根.所以，故正确；，故正确；由，可得， 故是错误的，故错误.故正确. 练习 方法技巧： 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 练习 变1.若关于的不等式的解集为，且，则的值为________. 解析：由题知是一元二次方程的实数根， 所以，且 又因为， 所以 又，解得. 练习 题型二：一元二次不等式的解法 例2.不等式的解集为_________. 解析：原不等式化为 即 解得. 练习 方法技巧： 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 练习 变2.解关于的不等式 解析：原不等式变为， ①当时，原不等式可化为， 所以当时，解得； 当时，解集为； 当时，解得. ②当时，原不等式等价于，即. 练习 变2.解关于的不等式 ③当时，，原不等式可化为， 解得或. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 练习 题型三：一元二次不等式恒成立问题 例3.(2023·天津模拟)若不等式的解集为，则实数的取值范围是________. 解析：当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当，即时，不等式的解集为， 则 解得.综上可得，实数的取值范围是. 练习 方法技巧： 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论. 练习 变3.已知若当时，恒成立，求实数的取值范围. 解析：由题意可转化为，在上恒成立， 令，则有①或②③ 解①得，解②得， 解③得. 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是. 练习 题型四：比较数(式)的大小 例4.若则与的大小关系为(　　) 解析： 因为，所以. 若，则，故；若，则，故. 综上，. 练习 方法技巧： 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 练习 变4.若则的大小关系是(　　) 解析：由题意得， 又，， 所以. 练习 题型五：不等式的基本性质 例5.(多选)已知则下列不等式不成立的是(　 ) 解析：因为 所以的符号无法确定. 对于，由题意得，若，则，故错误； 对于