高频考点36 统计图表与回归分析-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习word

高频 考点 36 统计图表与回归分析 　　统计图表与回归分析是高考常考的一类问题,一般是基础题或中档题,新高考全国卷面世以来,在多选题、填空题、解答题中,常对具有现实情境的统计图表与回归分析问题进行创新性命题.解决这类问题的方法万变不离其宗,其本质离不开灵活运用相关系数公式、经验回归方程等分析、计算实际问题. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:万元)绘制成如图频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的. (1) 根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度; (2) 该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 广告投入x /万元 1 2 3 4 5 销售收益y /万元 2 3 2 5 7 　　请根据表中的数据,判断广告投入x与销售收益y之间是否存在线性相关关系,如果具有线性相关关系,请求出y关于x的经验回归方程; (3) 若广告投入为6万元时,实际销售收益为7.3万元,求残差. 参考公式: (1) 设频率分布直方图中各小长方形的宽度为a,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知,所以a=2,即频率分布直方图中各小长方形的宽度为2. (2) 由题意,可知=,=, 根据样本相关系数公式,得 故广告投入x与销售收益y之间存在线性相关关系. 根据参考公式,得=, 所以y关于x的经验回归方程为. (3) 当时,销售收益y的预测值(万元). 又实际销售收益为7.3万元,所以残差(万元). 本题考点是频率分布直方图、经验回归方程,试题情境为课程学习情境和生活实践情境,主要考查学生数学建模、数据分析和数学运算的能力.本题的解题策略是利用回归分析的方法,根据样本相关系数的值判定广告投入x与销售收益y之间存在线性相关关系,然后求得经验回归方程为,并由此对时的销售收益y进行预测,从而求得残差. 1. 求经验回归方程的一般步骤: (1) 作出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点,观察点的分布是否呈条状分布,即是否在一条直线附近,从而判断两变量是否具有线性相关关系; (2) 当两变量具有线性相关关系时,第一步:利用公式,求,第二步:利用经验回归直线过样本中心点求系数,写出经验回归方程. 2. 一元线性回归分析: (1) 利用经验回归方程进行预测:把经验回归方程看作一次函数,求函数值; (2) 利用经验回归直线判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是样本相关系数r; (3) 经验回归方程的拟合效果,可以利用样本相关系数判断,当|r|越接近1时,两变量的线性相关性越强. 1. 为了研究某大型超市开业天数与销售额的关系,随机抽取了5天,其开业天数x与每天的销售额y的情况如下表: x/天 10 20 30 40 50 y/万元 62 75 81 89 根据上表提供的数据,求得y关于x的经验回归方程为,由于表中有一个数据模糊看不清,请你推测该数据的值为 (　　) A. 68 B. 68.3 C. 71 D. 71.3 2. 某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资,但是同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x与工资y之间的关系如下表: x/h 2 4 5 6 8 y/元 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为,预测当工作时间为9 h时,工资大约为　　　　元.  3. 某体育用品制造厂在某月份生产了一批乒乓球,质检人员从中随机抽取n个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm),并将数据进行分组统计,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率 [39.95,39.97) 6 P1 [39.97,39.99) 12 0.20 [39.99,40.01) a 0.50 [40.01,40.03] b P2 合计 n 1.00 (1) 求a,b,n及P1,P2的值,并画出频率分布直方图; (2) 已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,直径在内的乒乓球为“五星球”,若这批乒乓球共有10 000个,试估计其中“五星球”的数目; (3) 估计这批乒乓球直径的平均数和中位数. 4. 某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价x和购买人数y的关系如下表: x/(元/月) 30 35 40 45 50 y/万人 18 14 10 8 5 (1) 根据表中的数据,运用样本相关系数进行分析说明