高频考点21 基于情境的数列问题探索-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点21 · 基于情境的数列问题探索 一、直击考点 数列是高考重点考查的内容之一,其命题形式多种多样,涉及数学文化、数学发现、数学应用等.近年来基于问题情境的数列问题已成为高考的热点.此类问题通过具体的问题背景,考查数列在问题情境中的应用. 二、好题赏析 2018年9月24日,英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士在海德堡获奖者论坛上展示了他试证黎曼猜想的过程,引起数学界震动.黎曼猜想来源于一些特殊数列的求和,记,则 (　　) A. B. C. D. 【深度剖析】由于当时,,可得,可得,排除D;由,排除A;由,排除B.故选C. 【题眼】本题以英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士试证黎曼猜想的过程为载体,渗透数学史.解决本题的关键是发现,然后通过放缩利用裂项求和方法解题. 三、触类旁通 1. (多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”下列说法中正确的有(里,我国市制长度单位,1里=500 m) (　　) A. 此人第六天只走了5里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C. 此人第二天走的路程比全程的四分之一还多1.5里 D. 此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍 2. (2020·新课标全国Ⅱ卷)0⁃1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列……满足∈,且存在正整数,使得=成立,则称其为0⁃1周期序列,并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0⁃1周期序列……,()是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0⁃1周期序列中,满足的序列是 (　　) A. 11010… B. 11011… C. 10001… D. 11001… 3. 某人于2020年8月20日从银行贷款元,为还清这笔贷款,此人从2021年起每年的8月20日去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的年后还清.若银行按年利率为的复利计息(即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则此人每年的偿还金额是 (　　) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. (多选)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金万元(800),并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底A企业上缴资金后的剩余资金为万元,则 (　　) A.=2 800 B. = C. D. 当=400时,3 800 四、方法提炼 解决基于问题情境的数列问题,常用的解题思路是:审题、建模、研究模型、解决实际问题.研究模型时需注意:(1) 量(多个量);(2) 量与量之间的关系(或规律):等差、等比规律,递推关系,其他规律——由特殊到一般进行归纳总结;(3) 模型应与数列通项公式有关或与前项和有关;等等. 五、巩固反思 1. (2020·新课标全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　) 　(第1题图) A. 3 699块 B. 3 474块 C. 3 402块 D. 3 339块 2. 如图是古筝鸣箱俯视图,鸣箱有多根弦,每根弦下有一只弦码,弦码又叫雁柱,用于调节音高和传振.图②是根据图①绘制的古筝弦及其弦码的简易直观图.在直观图中,每根弦都垂直于轴,左边第一根弦在轴上,相邻两根弦间的距离为1,弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为,第(,第0根弦表示与轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线交于点和,则(参考数据:≈8.14) (　　) 　(第2题图) A. 814 B. 900 C. 914 D. 1 000 3. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至之日起,冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日晷影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日晷影子长的和是37.5尺,芒种的日晷影子长为4.5尺,则冬至的日晷影子长为　　　　尺.(尺,我国市制长度单位,1