高频考点31 圆的方程-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点31 圆的方程 一、直击考点 求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径是高考的热点,此内容多与直线相结合命题,着重考查我们利用待定系数法求圆的方程的能力.直线与圆的位置关系,特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点,这类问题多以多选题形式呈现.解决以上这些问题的核心是利用数形结合思想. 二、好题赏析 根据下列条件求圆的方程: (1) 经过两点,且圆心在直线上; (2) 经过两点,且在x轴上截得的弦长为6; (3) 经过两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2. 【深度剖析】(1) 由题意知直线的斜率,线段的中点为,设圆心. 因为圆过两点,所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上,又圆心在直线上,则解得所以,所以,所以圆的方程为. (2) 设圆的方程为.将两点的坐标分别代入,得两式相减得,则,将其代入①式得2,又圆在轴上截得的弦长等于6,所以.联立解得或故所求圆的方程为或. (3) 设所求圆的方程为.设圆与两坐标轴的交点为.令,得所以.令,得,所以.由题意知,即　③.又圆过点M,N,所以　④,　⑤.解③④⑤组成的方程组得.故所求圆的方程为. 【题眼】 本题是用待定系数法求圆的方程的基本题型,涉及圆的方程的求法这一考点.这类题目的解题方法为先根据题目的已知条件,选择合适的圆的方程形式,再结合条件列出方程组,利用方程组思想,确定未知量.第(1)题,由圆过两点A,B,确定圆心在线段AB的垂直平分线上,然后由方程组确定圆心;第(2)题,由圆截直线所得的弦长,确定方程,再联立方程组确定圆心和半径;第(3)题,已知圆在坐标轴上的截距之和,先设出圆的一般方程,再根据条件列出方程组,解方程组确定圆的方程. 3、 触类旁通 1. (2020·新课标全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线的距离为 (　　) A. B. C. D. 2. 已知直线:截圆O:()所得的弦长为,点M,N在圆O上,且直线':过定点.若,则的取值范围是(　　) A. [,] B. [,] C. [-,+] D. [-,+] 3. (多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点在圆上,点,则 (　　) A. 点到直线的距离小于10 B. 点到直线的距离大于2 C. 当最小时,= D. 当最大时,= 4. 已知圆经过点),从下列3个条件选取一个:　　　　.  ① 过点;② 圆恒被直线()平分;③ 与轴相切. (1) 求圆的方程; (2) 过点的直线与圆相交于两点,求线段的中点的轨迹方程. 四、方法提炼 1. 求圆的方程的一般方法:(1) 直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出圆的方程;(2) 待定系数法:① 若已知条件与圆心()和半径有关,则设圆的标准方程,求出的值;② 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则可设圆的一般方程,依据已知条件列出关于的方程组,进而求出的值. 2. 直线与圆的位置关系:(1) 判断直线与圆的位置关系常用几何法;(2) 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形;(3) 处理圆的切线问题要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题. 3. 圆与圆的位置关系:(1) 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法;(2) 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. 五、巩固反思 1. (多选)已知圆的一般方程为,则 (　　) A. 圆的圆心为(4,-3) B. 圆被轴截得的弦长为8 C. 圆的过原点的最短弦长为8 D. 圆被轴截得的弦长为6 2. (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名,将其称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中,.点P满足,设点所构成的曲线为,则(　 ) A. 曲线E的圆心坐标为 B. C. 曲线的周长为 D. 曲线上的点到直线的最小距离为() 3.已知圆的圆心坐标是,半径是.若直线与圆相切于点,则　　　　,　　　　.  4. 在平面直角坐标系中,已知圆过点,且圆心在直线:上,圆M:. (1) 求圆的标准方程,并判断圆与圆的位置关系; (2) 直线上是否存在点过点分别作圆与圆的切线,切点分别为(不重合),使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. $$