高频考点30 直线的方程 -【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点30 直线的方程 一、直击考点 直线的方程是高考中常考常新的一类问题,一般是简单题和中档题,且常结合圆锥曲线和不等式等知识考查.直线方程的问题,其本质离不开直线方程的五种形式、直线过定点问题、结合不等式解决最值问题等,掌握动态问题中的不动性是优化解题的关键. 二、好题赏析 已知一条动直线. (1) 求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标; (2) 若直线与轴、轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则是否存在直线同时满足下列条件:① △AOB的周长为12;② △AOB的面积为6?若存在,求出直线方程;若不存在,请说明理由; (3) 若直线与轴、轴的正半轴分别交于A,B两点,当取最小值时,求直线的方程. 【深度剖析】 (1) 证明:已知直线方程为,即对 恒成立, 所以有解得故直线过定点. (2) 依题意设直线方程为,则,则解得或将代入直线方程得　③,其中不满足③,满足③.所以存在直线,即同时满足题设条件. (3) 由(1)知直线过定点P,而直线与轴、轴的正半轴分别交于A,B两点,所以直线的倾斜角,所以,所以　④,令,由于,所以,所以cos∈,所以, 则④可化为,由于在[-,-1)上单调递减,所以在[-,-1)上单调递增,故当,即时,取得最小值,此时直线方程为,即,即,故当取得最小值时,直线的方程为. 【题眼】 本题是以动态形式的直线方程为载体的探究性问题,涉及直线系、定点、斜率、倾斜角和三角函数的最值等知识.解决本题的关键是由找到定点.第(2)题选择直线方程的截距式,简化计算;第(3)题是最值问题,需回归直线斜率的本质,利用倾斜角解决距离之和问题. 三、触类旁通 1. 数学家欧拉在1765年提出一条定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点,则的欧拉线方程为 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线:与轴、轴分别交于A,B两点,则 (　　) A. 存在正实数,使的面积为的直线 仅有一条 B. 存在正实数,使的面积为的直线仅有两条 C. 存在正实数,使的面积为的直线 仅有三条 D. 存在正实数,使的面积为的直线 仅有四条 3. 已知直线:. (1) 若直线不经过第四象限,求的取值范围; (2) 若直线交轴的负半轴于点A,交轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线的方程. 四、方法提炼 含参数的动态形式的直线方程,一般涉及直线过定点、过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积以及与定点相关的线段、面积的最值问题.此类问题的解题策略是将直线系方程转化为关于参数的一元一次方程,由该方程有无穷多解,求得定点坐标,其相关长度、面积或最值问题通常转化为方程或函数问题来求解. 五、巩固反思 1. 已知是直线:与x轴的交点,将直线绕点按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是(　　) A. B. C. D. 2. (多选)已知直线1:,2:,.下列结论中正确的有 (　　) A. 不论为何值,直线1与2都互相垂直 B. 当时,直线1与x轴的交点到原点的距离为 C. 不论为何值,直线1与2都关于直线对称 D. 如果直线1与2交于点,那么的最大值是 3. 如图,射线分别与轴正半轴成45°和30°角,过点作直线分别交于两点.当的中点恰好落在直线上时,直线的方程为　　　　　　　　　　.  　(第3题图) 4. 如图,是一张三角形纸片,,设与的交点分别为,将沿直线折叠,使点落在边上的点A'处. (1) 设,试用表示点到的距离; (2) 求点到距离的最大值. 　(第4题图) $$