高频考点34 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点34 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 一、直击考点 圆锥曲线的几何性质是高考命题的重点和热点.高考主要考查椭圆与双曲线的离心率,双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题,题目综合性较强.试题类型多为选择题或填空题.解决这类问题的主要方法是结合圆锥曲线的定义、几何特点,构造基本量的等量关系或者不等关系,利用方程思想或者不等式思想求值或求取值范围. 二、好题赏析 已知双曲线:(),过左焦点作斜率为的直线与双曲线的一条渐近线相交于点,且点在第一象限.若(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为(　　) A. B. C. D. y=±x 【深度剖析】方法1:由题意可得直线的方程为,双曲线过第一、三象限的渐近线的方程为.由得所以.因为==,所以,整理可得,即,所以双曲线的渐近线方程为.故选B.方法2:设双曲线的右焦点为F',连接AF',因为,所以,所以△AFF'为直角三角形,AF'.因为直线的斜率为,所以又所以,令,则,由勾股定理得,所以,即,所以,所以,则双曲线C的渐近线方程为.故选B.方法3:设双曲线的右焦点为F',连接AF',因为,所以,所以△AFF'为直角三角形,AF⊥AF',即点在以线段FF'为直径的圆上,所以因为直线的斜率为,所以 ,所以,则双曲线的渐近线方程为.故选B. 【题眼】 本题以双曲线为载体,考查如何利用圆锥曲线方程的基本量研究圆锥曲线的几何性质,属于基础题,解题的主要数学思想是数形结合.在解决此类问题时应注意抓住图形的几何特点,结合圆锥曲线的定义,构建基本量的等量关系,如本题就是由构造基本量的等量关系,从而得出渐近线方程.从入手解题,可以从代数和几何两个方向来思考:代数方向是借助直线的方程求交点,然后用方程的思想解决问题;几何方向是借助于特征三角形(即直角三角形),然后结合定义,求出渐近线倾斜角的正切值,从而解决问题. 三、触类旁通 1.已知抛物线C1:()的焦点为,准线与轴的交点为,线段EF被双曲线C2: -=1()的顶点三等分,且两曲线C1,C2的交点连线过曲线C1的焦点,则双曲线C2的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.已知椭圆()的右焦点为,上顶点为,直线上存在一点P满足,则椭圆的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 3.已知抛物线C:()的焦点为是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得的弦长为,若=2,则等于 (　　) A. B. 1 C. 2 D. 3 4. (多选)十七世纪,法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明:方程()表示椭圆.若从椭圆上任意一点(异于两点)向长轴引垂线,垂足为,记,则下列说法中正确的有(　　) A. 的值与点在椭圆上的位置有关 B. 的值与点在椭圆上的位置无关 C. 的值越大,椭圆的离心率越大 D. 的值越大,椭圆的离心率越小 四、方法提炼 对圆锥曲线的几何性质的考查,主要聚焦在求椭圆的离心率、双曲线的离心率、双曲线的渐近线、抛物线的焦点弦等方面.解决这类问题的关键是:(1) 灵活运用圆锥曲线的定义以及根据条件设点,由已知条件确定相应的几何性质;(2) 正确用好基本量,同时要挖掘题目所给的相关信息,如角的互补、三角形相似、直线与圆相切等.若能恰到好处地运用勾股定理和正、余弦定理以及有关“二级结论”,则可以快速解题.选择向量方法求解往往会优化解题过程. 五、巩固反思 1. 双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国研制成功的“双曲线新闻灯”就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,双曲线方程为(),F1,F2为其左、右焦点.若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点和点反射后,满足,且,则该双曲线的离心率为(　　) (第1题图) A. B. C. D. 2. (多选)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1和e2,则(　　) (第2题图) A. B. C. D. 3. 设抛物线:()的焦点为,点在抛物线上,.若以线段为直径的圆过点(0,2),则抛物线的方程为　　　　　　　　.  4. 已知是坐标原点,是双曲线C:)的左焦点,过点作轴的垂线,垂线交该