高频考点33 椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点33 椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程 一、直击考点 求圆锥曲线的方程是高考命题的重点,多出现在解答题的第一小题和简单的选择题、填空题中,主要考查我们数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想以及识图、画图、逻辑推理及创新思维等能力.解决这类问题的主要方法是定义法和待定系数法.将圆锥曲线的定义与方程和圆锥曲线的离心率问题、周长问题、面积问题、最值问题结合也是高考的热点. 二、好题赏析 (2019·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆的焦点为,过F2的直线与椭圆C交于两点.若,则椭圆的方程为 (　　) A. B. C. D. 【深度剖析】方法1:如图,由已知可设,则.由椭圆的定义有,所以.在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得又∠AF2F1,∠BF2F1互补,所以,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得,解得.所以,所以,故椭圆方程为,故选B. 方法2:如图,由已知可设,则.由椭圆的定义有=4n,所以.在△AF1B中,由余弦定理推论得,在△AF1F2中,由余弦定理得,解得.所以,所以,故所求椭圆方程为,故选B.方法3:如图,由已知可设,则.由椭圆的定义有,所以.不妨设点,由,利用向量或相似三角形的性质得点,代入椭圆方程得,所以,故选B. 【题眼】 本题是圆锥曲线方程的典型问题,考点涉及椭圆的定义和方程、余弦定理、相似三角形等,属于容易题,主要考查数形结合思想在解题中的应用.本题的三种解题方法都以椭圆的定义为核心,并恰到好处地用到了平面几何的结论. 三、触类旁通 1. (2019·新课标全国Ⅲ卷)已知是双曲线C:=1的一个焦点,点在双曲线上,为坐标原点.若,则的面积为 (　　) A. B. C. D. 2. 我国古代桥梁的建筑艺术有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了我国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为 (　　) 　(第2题图) A. m B. m C. m D. 12 m 3. 已知双曲线C:()的右焦点为,抛物线与双曲线共焦点,点在双曲线的渐近线上,是等边三角形(为坐标原点),则双曲线的标准方程为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知是椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  四、方法提炼 解决圆锥曲线方程相关问题的关键是灵活运用圆锥曲线的定义,正确用好基本量,同时要挖掘题目所给的相关信息,如角的互补、三角形的相似、直线与圆的相切等.若能恰到好处地运用勾股定理和正、余弦定理以及有关“二级结论”,则可以快速解题.选择向量方法求解往往会优化解题过程. 五、巩固反思 1. 已知F1,F2为双曲线:的左、右焦点,点P在上,,则cos∠F1PF2的值为 (　　) A. B. C. D. 2. (多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知曲线:,则 (　　) A. 若,则是椭圆,其焦点在轴上 B. 若,则是圆,其半径为 C. 若,则是双曲线,其渐近线方程为 D. 若,则是两条直线 3. (多选)已知曲线C:,F1,F2分别为曲线的左、右焦点,则下列说法中正确的有(　　) A. 若,则曲线的两条渐近线所成的锐角为 B. 若曲线的离心率,则 C. 若,则曲线上不存在点使得 D. 若,为上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为 4. 为抛物线上的动点,为平面内定点,为抛物线焦点,则+的最小值为　　　　;-的取值范围为　　　　.  $$