高频考点32 直线与圆的动态问题-【一题一课】2024高考数学一轮复习高频考点专题练习导学案word

高频考点32 直线与圆的动态问题 一、直击考点 直线与圆的动态问题是高考常考常新的热点问题,包括动直线、动圆、动圆定直线、定圆动直线、动圆动直线,这类问题多与相关几何量的最值、取值范围有关,解题时要注意“动与静”“变与不变”之间的相互转化.这类问题主要考查数形结合、分类讨论、等价转化以及函数与方程等数学思想. 二、好题赏析 已知圆C:(),过点作斜率为-1的直线交圆于两点,为线段的中点. (1) 求实数的值; (2) 从圆外一点向圆引一条切线,切点为,且有,求的最小值. 【深度剖析】 (1) 由(),得,因为为线段的中点,所以点在圆内,且, 所以解得.经检验,满足,故. (2) 由(1)得圆C:,即,所以圆心,半径.设点坐标为,因为为圆的切线,所以,所以,又,所以, 则,整理得.由于,故取最小值即取最小值,点到圆圆心的距离,所以的最小值为,故的最小值为. 【题眼】 本题考点为直线与圆的位置关系,涉及轨迹思想,是比较典型的动态问题.解决本题第(2)题的关键是由条件发现点的轨迹是阿波罗尼斯圆,从而将求的最小值转化为求圆上一动点到圆外一点的距离的最小值,解决问题的过程中主要运用了等价转化和数形结合的思想. 三、触类旁通 1. 已知点是圆C:(上一动点,点关于轴的对称点为,点关于直线的对称点为N,则的最小值是 (　　) A. 4 B. C. D. 2. (多选)对两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两条直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两条直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线1:,2:与圆C:()的位置关系是“平行相交”,则实数的取值可以是 (　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,已知点是圆上的动点,则+的最大值为　　　　.  4. 已知圆:和定点),动点在圆上. (1) 过点作圆的切线,求切线方程; (2) 若满足=(kACkAD分别为直线的斜率),设直线与直线x=4相交于点. ① 求证:直线过定点; ② 试探究直线的斜率kAC和直线的斜率kCN的定量关系. 四、方法提炼 研究直线与圆的动态问题的一般方法: 1. 定圆动直线的问题,其中动直线包含:已知斜率,截距在变化的动直线;已知截距或者已知直线过一个定点,斜率在变化的动直线.对于这类问题可以把它转化成直线和圆的位置关系来解决. 2. (1) 动圆定直线问题中经常涉及轨迹问题,即隐形圆的问题.如本题第(2)题,由条件得到点的轨迹是圆;(2) 对于轨迹是圆的相关问题,通常用几何法求解较为简洁,充分利用圆的几何性质可以事半功倍. 五、巩固反思 1. (多选)已知过定点的动直线1:和过定点的动直线2:,为两直线的交点,圆:,则 (　　) A. 直线2过定点(1,3) B. 直线2与圆相交且最短弦长为2 C. 动点的轨迹与圆相离 D. 为定值 2. 已知为圆C:上两动点,且2,为线段的中点,则点的轨迹方程是　　　　　　　　　　;(为坐标原点)的取值范围为　　　　　　　　.  3. 已知点在圆内,动直线过点且交圆于两点.若面积的最大值为20,则实数的取值范围为　　　　　　　　.  4. 已知圆的圆心在直线上,圆与轴正半轴相切,且被直线:截得的弦长为. (1) 求圆的方程; (2) 若点在圆上运动,点,且点满足 ,记点的轨迹为 . ① 求的方程,并说明是什么图形; ② 试探究:在直线上是否存在定点(异于原点),使得对于上任意一点,都有为一常数?若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由. $$