第3章 3.1.2 第2课时 椭圆方程与性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后案学业评价·层级训练 /夯基陆·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.点A(a,1)在椭圆x24+y22=1的内部.则a的取值范围是( ) A.\rc\)(\a\vs4\al\col(-\r(2),\r(2)) B.\rc\(\a\vs4\al\col(-o,-\r(2))U\rc\)(\a\vs4\al\col(\r(2),+) C.(-22) D.(-1,1) 解析由题意得a24+12<1,即a22,解得-2<a2.故选A 答案A 2.直线y=x一1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是() A.laivs4allcol(f(123) B.\alvs4alcol(-\f(213) C.aws4alcol(f(113) D.\aws4alcol(-\f(112) 解析由y=x-1,2x2+y2=4,)消去y得2x2+(c-1)2=4,即3x2-2x-3=0 所以弦的中点的横坐标是x=12×23=13, 代入直线方程y=x一1中，得y=一23 所以弦的中点坐标是avs4 alcol(f123).故选A 答案A 3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作长轴的垂 线与椭圆的一个交点为P,若tan∠PFzF1=34,则椭圆的离心率为() A12 B.13 C.14 D.15 解析如图，把x=一c代入x2a2十y2b2=1,可得y=b2a, 不妨取P\a\vs4 al\col(-c,\f(b2a), 则PF1=b2a,而FF2=2c, 所以tan∠PF2F1=b2a2c=b22ac=a2-c22ac=34, 则2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0 解得e=-2(舍)或e=12 答案A 4.(多选)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2)2，若直线y=a与椭圆的一个交点 的横坐标=b,则k的值可以为() A.-2)2 B.-12 C.12 D.2)2 解析根据椭圆的离心率为2》2，得ca=2)2. ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 xo=b,y20=b2\a\vs4\al\col(1-\f (b2a2))=b2c2a2, %=bca,∴.k=y0x0=±ca=士2)2 答案AD 5.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦的长为 ,最短弦的长为 解析过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2α=4：最短弦为垂直于长轴的弦。因为 c=1,将x=1代入x24十y23=1,得y=±32，所以最短弦的长为2×32=3 答案43 6.若直线mx十y=4与圆x2十y2=4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24 =1的交点个数为 解析因为直线r+四=4与圆x2+y2=4没有交点，所以|一4r(m2十n2)>2,所以 m2+n2<4,即点P(m,n)在以原点为圆心，以2为半径长的圆内，故直线十y=4与椭 圆x29+y24=1有两个交点. 答案2 7.过椭圆x225+y29=1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 解析设A,B两点的坐标分别为A(1,),Bx2,).因为椭圆的左焦点为（一4,0）， 由y=x+4,x2y29)=1,得34x2+200x+175=0, 所以为+2=-20034,13=17534 所以4B到=x1-x22+y1-y22=2×x1-x22=2×x1+x22- 4x1x2 =2×rc17534=9017 答案9017 8.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P\a\vs4\al\col(r(3),f(12),离心 率是3)2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线1与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为Mavs4 alcol0112),求直线 1与坐标轴围成的三角形的面积. 解析(1)由已知可得ca=3)2,3a2+14b2=1, c2=a2-b2,解得a=2,b=1, 所以椭圆的标准方程为x24十y2=1 (2)设A1,),B,2),代入椭圆方程得314十y21=1,224十y22=1 两式相减得\rc\)a\vs4\al\col(x1-x2)\b1lc(rc)(a\vs4al\col(x1+x2))4 +0y1-2)0十2)=0 由中点坐标公式得：十龙=1，+2=1， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以kA=y1一y2x1-x2=-14,可得直线AB的方程为y-12=-14 \a\vs4\al\col(x-\f(12)), 令x=0,可得y=58,令y=