第3章 3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程(二)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ツ课后案学业评价·层级训练 /夯基陆·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.平面内，F1,F2是两个定点，“动点M满足F十MF为常数”是“M的轨迹是椭 圆”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析当F十MF>EF时，M的轨迹才是椭圆 答案B 2.已知椭圆的中心在原点，焦点F,F2在x轴上，且经过点P rc)(a\vs4a1co1(2,r(3),同时PF1+PF2=2F1F2,则椭圆的标准方程为() Ax28+y26=1 B.x216+y26=1 C.x24+y22=1 D.x28+y24=1 解析由己知，可设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则4a2+3b2=1.又PF1+1 PF2=2FF,由椭圆定义得，2a=4c,即a=2c.因为a2-b2=c2,所以a2=8,b2=6,所 以椭圆的标准方程为x28+y26=1,故选A 答案A 3.已知椭圆x2a2十y2b2=1(b>0),M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段 ME的中点P的轨迹是() A.圆 B椭圆 C.线段 D.直线 解析设椭圆的右焦点为F, 由题意，知PO=12MF2,PF=124F, 又MF+MF=2a, 所以PO+PFl=a>FO=c, 故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆。 答案B 4.P是椭圆x216十y29=1上一点，F,F2分别是椭圆的左、右焦点，若PFPF2=12, 则∠FPF2的大小为() A.60° B.30° C.120° D.150 解析·由椭圆的定义得 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 PF+PE2=8,FF2=27, .(0PF+PF2D2=64. PFPF=12,PF2+PER=40. 在△FPF2中，cos∠F,PF2=40-282×12=12, ,0°<∠FPF2<180°， .∠FPF2=60° 答案A 5.已知椭圆C上任意一点Px,y)都满足关系式b\lc\(rc)(avs4\al\col(x一1) 2+y2+b\1c\(rc)(avs4al\co1(x+1)2+y2=4,则椭圆C的标准方程为 解析由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，（一1,0），2a=4,故a=2, c=1,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x24十y23=1 答案x24+y23=1 6.已知点Arc)(a\vs4\al\co1(-r(2),0),B\rc)a\vs4\al\col(r(2),0), P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是一12，则动点P的轨迹C的方程为 解析设P\rc)(a\vs4\al\col(x,y)\rc)(a\vs4alco1(x≠±r(2)), PBp=yx+\r(2)yx-\r(2)=-12, 整理得x22+y2=1rc)(a\vs4\al\col(x≠±r(2) 故动点P的轨迹C的方程为x22+y2=1rc)(a\vs4\al\col(x≠±\r(2) 答案x22+y2=1rc)(a\vs4al\co1(x≠±r(2)) 7.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF:PF2=2:1, 则△FPF2的面积= 解析由椭圆方程，得a=3,b=2,c=5 因为PFl+PF=2a=6且PFl:PF2=2:1, 所以PF=4,PF2=2, 所以PF2+PF22=FF2P 所以△PFF是直角三角形，故△FPF2的面积为12PFPF=12×4×2=4 答案4 8.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),Fz(0,1),且3a2=4b2 (1)求椭圆的标准方程： (2)设点P在这个椭圆上，且PF一PF=1,求∠FPF2的余弦值. 解析(1)依题意，知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以a2-34a2=1,即14a2=1 所以a2=4,b2=3. 故椭圆的标准方程为y24+x23=1. (2)由于点P在椭圆上， 所以PF+PF=2a=2×2=4 又PF-PF2=1, 所以PF1=52,PF=32 又F,F2=2c=2,所以由余弦定理得 cos ZFPF2=\relrc\2))532=35. 故∠FPF2的余弦值为35 [关键能力综合提升] 9.(多选)点F1,F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P,使得∠FPF2=90°，则 椭圆C的方程可以是() Ax225+y29=1 B.