第2章 2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

[必备知识·基础巩固]

1．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)

A.  B.

C.  D.π

解析　如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的，

即×22×π＝π.故选D.

答案　D

2．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)

A．1  B.2

C.  D.3

解析　因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.

答案　C

3.如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10，净高CD为7，则此隧道圆的半径是(　　)

A．5  B.

C.  D.7

解析　∵OD⊥AB，

∴AD＝DB＝AB＝×10＝5，

在Rt△OAD中，设半径OA＝R，

则OD＝CD－R＝7－R，

∴OA2＝OD2＋AD2，

即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝.

∴此隧道圆的半径OA是，故选B.

答案　B

4．(多选)圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k的值可以是(　　)

A.－1  B.1

C．－3  D.

解析　由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为r＝，即＝，解得k＝1或－3，故选BC.

答案　BC

5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为________．

解析　圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心为(2,2)，r＝3.

圆心到直线的距离为d＝＝5.

最大距离与最小距离的差为d＋r－(d－r)＝6.

答案　6

6.如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________ m.

解析　如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，

∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m 后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，

∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 m.

答案　2

7．已知实数x和y满足(x＋1)2＋y2＝，则x＋y的最大值为________，最小值为________．

解析　令x＋y＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题可转化为斜率为－1的直线在经过圆(x

＋1)2＋y2＝上的点时在y轴上的截距的最值．

当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，

此时有＝，

解得b＝±－1，

即最大值为－1，最小值为－－1.

答案　－1　－－1

8．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

解析　(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，

又|QC|＝＝4，

∴|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

(2)由题可知表示直线MQ的斜率．

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，

则＝k.

由直线MQ与圆C有交点，得≤2，

可得2－≤k≤2＋，

∴的最大值为2＋，最小值为2－.

[关键能力·综合提升]

9．直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)