第2章 2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

[必备知识·基础巩固]

1．直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B.相切

C．相交  D.无法确定

解析　圆C的圆心为C(2,0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝＝<2，所以圆C与直线l相交．

答案　C

2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线l：x－y－5＝0所得的弦长等于(　　)

A.  B.

C．1  D.5

解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径长r＝，圆心(2，－2)到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝.

答案　A

3．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　)

A.  B.±

C.  D.±

解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，

所以圆心C(2,3)到直线的距离d＝＝1，

所以＝＝1，

解得k＝±.

答案　D

4．(多选)过点(2,0)作圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0的切线l，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－6＝0  B.4x＋3y－8＝0

C．x－2＝0  D.x＋2＝0

解析　因为x2＋y2－2x－6y＋9＝0，所以(x－1)2＋(y－3)2＝1，所以圆心(1,3)到直线x＝2的距离等于1，所以直线l的方程可以为x－2＝0.当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－

2)，则＝1，所以k＝－，所以l的方程为y＝－(x－2)，即4x＋3y－8＝0，故选BC.

答案　BC

5．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．

解析　由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为＝－，所以切线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.

答案　x＋2y－5＝0

6．点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为________．

解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心坐标为B(2,4)，半径长r＝10.设这条弦所在直线为l，则AB⊥l，

因为kAB＝＝1，所以直线l的斜率k＝－1.

所以所求直线为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0.

答案　x＋y－8＝0

7．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．

解析　圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，

由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心，

从而所求直线方程为y－0＝(x－1)，

即3x－2y－3＝0.

答案　3x－2y－3＝0

8．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.

(1)当m为何值时，曲线C表示圆；

(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．

解析　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，

得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m.

由5－m>0时，得m<5.

所以当m<5时，曲线C表示圆．

(2)由(1)知圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.

因为直线l：y＝x－m与圆C相切，

所以＝.

解得m＝±3，满足m<5.

所以m＝±3.

[关键能力·综合提升]

9．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)

A．x2＋y2－2y＝2  B.x2＋y2＋2y＝2

C．x2＋y2－2y＝1  D.x2＋y2＋2y＝1

解析　在直线mx＋y＋1＝0的方程中，

令x＝0，则y＝－1，

则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)．

由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，

则点(0，－1)是圆C的圆心，

又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，

则圆C的半径r＝＝.

因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.

答案　D

10．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝(　　)

A．±2  B.±

C．±  D.±

解析　由题可得圆心为(0,0)，半径为2，

则圆心到直线的距离d＝，

则弦长为2，