第2章 2.4.1 圆的标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

[必备知识·基础巩固]

1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　)

A．在圆外  B.在圆上

C．在圆内  D.与a的值有关

解析　因为＝＞，故点P(a,10)在圆外．

答案　A

2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1

D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1

解析　因为两圆关于原点对称，所以圆C的圆心坐标为(2，－1)，半径长为1，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.

答案　A

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y＋2)2＝1

B．x2＋(y－2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝1

解析　设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.因为圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，故选B.

答案　B

4．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　)

A．x2＋(y－4)2＝20  B.(x－4)2＋y2＝20

C．x2＋(y－2)2＝20  D.(x－2)2＋y2＝20

解析　令x＝0，则y＝4；

令y＝0，则x＝2.

所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)，|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20.

以B为圆心，过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20.故选AD.

答案　AD

5．已知点M在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为__________．

解析　由题意知Error!

即Error!解得0≤a<1.

答案　[0,1)

6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为_____________________ _________________________________________________．

解析　因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径长为r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20.

答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝20

7．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________．

解析　由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A在圆外，从而|AP|的最小值为－5＝10－5＝5.

答案　5

8．求满足下列条件的圆的标准方程：

(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；

(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．

解析　(1)圆的半径长为r＝|CP|＝＝5，圆心为点C(8，－3)，所以圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.

(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2，

因为点P，Q在所求圆上，依题意得

Error!解得Error!

所以所求圆的方程是x2＋2＝.

[关键能力·综合提升]

9．(多选)若圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　)

A．x2＋y2＝5

B．(x－1)2＋y2＝5

C．x2＋(y＋1)2＝5

D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

解析　∵圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心直线x＋y＝0上．设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0，a＝1，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5.故选AD.

答案　AD

10．(多选)已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为(　　)

A．(x＋3)2＋y2＝25  B.(x－3)2＋y2＝25

C．x2＋(y＋3)2＝25  D.x2＋(y－3)2＝25

解析　由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4，在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.

如图所示，有两种情况：

故圆心C的坐标为(3,0)或(－3,0)，

故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.

答案　AB

11．已知A，B两点是圆C：x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则实数a＝________；若点A，B关于点(1,2)对称，则直线AB的方程为____________．

解析　圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0,1)，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则直线经过圆心(0,1)，∴a＝3.若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)中心对称，则CP⊥AB，P为AB的中点，

∵kCP＝＝1，∴kAB＝－1，

∴直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.