第1章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ツ课后案学业评价·层级训练 /夯基陆·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.直线/h,2的方向向量分别是M,2,若M与2的夹角为0.直线1,2所成的 角为c,则(） A.=0 B.q=T-0 C.cos 0=Icos al D.cos a=cos el 解析a=0或a=T-0.且a∈0.1f(π2).所以cosa=|cosL. 答案D 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，LBCA=90°，M.N分别是A1B1.A1C1的中点. BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为() A.110 B.25 C.30)10 D.2)2 解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴 建立空间直角坐标系.设CA=CB=CC1=1.则B(0,1,0).M八a\vs4\al小co1(1f112).1, A1,0,0.Malvs4aco10f12).0.1).故=avs4al小co1(f112).1.=1 alvs4aco1(-1f12).0.1). B 所以cos(o(BM→)→)》=avs4\al小co1(o(BM→)→))\avs4\al小\co1(o(BM →))→))=341r(6\r(52=30)10 答案C 3.正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，E,F分别是AB.BC的中点，则PB与 平面PEF所成角的正弦值为() A.3)6 B.6)6 C.3)3 D.6)3 解析以点P为原点，PA.PB.PC所在直线分别为X轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系.如图所示，设PA=PB=PC=2,则P (0.0,0).B0,2,01.(1,1.0.F0,1,1).所以=(0,2,0).=(1,1,0). ￥ =(0,1,1) 设平面PEF的法向量为n=(x,y,Z).则n·lo(PE→)→)》=y+z=0.取x=1,得n =(1.-1,1).设PB与平面PEF所成的角为0.则sin0=1a1vs4\al小co1(o(PB→) n)\avs4\al小co1(o(PB→)=22r(3)=3)3.故选C. 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 答案C 4.(多选)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=3, 以D为原点.DA.DC,DD1所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空 间直角坐标系.则下列说法正确的是() A.B1的坐标为(2,2,3) B.=(-2.0,3) C.平面A1BC1的一个法向量为（一3,3，一2） D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为22)11 解析因为AB=AD=2,AA1=3. 所以A(2,0,3).B2,2,0).B1(2,2,3.C1(0,2,3).所以=(-2,0,3).=(0,2. 3).故A.B正确 设平面ABC1的法向量为m=(x,y,Z). 所以m{o(A1B→)BC1→)=0，则2y-3z=0.-2x+3z=0.)令X=-3. 则y=一3.Z=-2.即平面ABC1的一个法向量为m=(-3,一3，一2).故C错误 由几何体知识易得面A1B1C1的一个法向量为n=(0,0,1). 由干cos(m.n〉=m:nlmlin=-2\r(9+9+4)=-22)11. 结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为22)11，故D正确.故选ABD 答案ABD 5.若平面a的-个法向量为n=1rc)avs4alco1(-r(3),1.1).直线/的-个方 向向量为a=1rc)(avs4 allco1(r(3).1,1),则1与a所成角的正弦值为--- 解析由题，设/与a所成角为0.可得sin0=ln,allnlla =|-3+1+1r0 lclrc)avs4\aNco1(-r(3))2+1+1)× \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\col(\r(3)))2+1+1) =15 答案15 6.如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD.PD=AD. 则PA与BD夹角的度数为 解析如图以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为X轴、y轴、 z轴.建立空间直角坐标系 :点P在正方形ABCD所在平面外PD⊥平面ABCD,PD=AD,合PD=AD=1. A(1,0,0).P0,0,1).B1,1,0).D0,0,0). .=(1.0.-1.=(-1.-1,0. cos〈.)=PA→)→八as4al小co10oPA→》→》=-1r(2)xr(2)=-12. *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家