1.1.1空间向量及其线性运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算 新知探究 2 新知引入 教学目标: (1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念,发展 数学抽象素养; (2)掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示; (3)掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律; (4)借助向量的线性运算的学习,提升数学运算素养. 教学重点:空间向量的概念和线性运算及其应用 教学难点:空间向量的线性运算及其应用 2 情景引入 这是一个做滑翔伞运动的场景.你能想象,在滑翔过程中, 飞行员会受到来自哪些不同方向、大小各异的力吗? 正东 正北 向上 已知F1=10N, F2=15N,F3=15N 这三个力两两之间的夹角都为90度, 它们的合力的大小为多少N? F3 F1 F2 这需要进一步来认识空间中的向量 问题1: 问题2: 如图:已知OA=6米, AB=6米,BC=3米, 那么OC=? 起点 终点 起点 起点 定义 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示 几何表示法:有向线段 符号表示法: 长度(模) 平面向量是什么?如何表示平面向量?你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗? 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模,记作 a c b 注意:写向量的时候要带箭头! 空间向量的基本概念 零向量: 规定:长度为0的向量叫做零向量,记作: 单位向量: 模为1的向量称为单位向量. 当有向线段的起点A与终点B重合时, 相反向量: 与向量 长度相等而方向相反的向量,称为 的相反向量。 记作: 相等向量: 方向相同且模相等的向量称为相等向量。 因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。 共线向量: 如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量 ,都有 ∥ 注意:任意两个空间向量都可以平移到同一平面内,成为同一平面内的两个向量. 空间向量的有关概念 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 运算律 空间向量的线性运算和运算律 交换律:a+b=b+a 结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a 分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 空间向量的加减运算 空间任意两个向量是否一定能够平移到同一个平面中? 在空间中,任意两个向量都可以平移到同一个平面内,所以空间两个向量的加法和减法运算与平面向量相同. 空间向量的加法的运算律. 问题:平面向量的加法运算符合交换律和结合律,空间向量是否也符合?能否借助平行六面体图形证明? ⑴加法交换律: ; ⑵加法结合律: ; 空间向量的加减运算 如图,已知平行六面体ABCDA′B′C′D′,化简下列表达式. 规律总结 掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键,灵活应用相反向量、相等向量及两向量和、差,可使这类题迅速获解; A B C D D C B A E 练习 在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心, 求下列各式中的x,y,z. A B E C F D 空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简: (2)原式 练习 A B C D D C B A E 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值. F 练习 新知探索 问题:对任意两个空间向量与,如果,与有什么位置关系?反过来,与有什么位置关系时,? 类似于平面向量共线的充要条件,对任意两个空间向量,,的充要条件是存在实数,使. • • 如图,是直线上一点,在直线上取非零向量,则对于直线上任意一点,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得. 新知探索 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样,直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 新知:共面向量的定义 向量与平面平行:若表示向量的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内,则称向量平行于平面α. 共面向量:平行于同一个平面的向量. ②任意两个空间向量必共面. ③任意三个空间向量可能共面,也可能不共面. 注:①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面. 新知探究 回顾平面向量基本定理: 共面 思考:什么情况下三个空间向量共面? 可平移到同一平面内 新知探究 新知:向量共面的判定 向量共面的充要条件: 作用: 判定三个向量是否共面(找x,y). 推论: 判定四点是否共面(同起点/系数和为1,或转化为三个向量共面). 例 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点О作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使.求证:E,F,G,H四点共面. O A B C D E F G H 分析:欲证E,