第80讲 正态分布-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第80讲 正态分布 正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从 ，记为X～N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线 对称. ②曲线在 处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 1、【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 2、（21•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是　　 A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 1、已知随机变量服从正态分布，若，则（       ） A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023 2、某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于140分的人数为100，则此次考试数学成绩高于100分的人数约为(       ) A．700 B．800 C．900 D．950 3、(2022·滨州二模)设随机变量X～N(μ，σ2)，则“μ≥1”是“P(X<2)<”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4、设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________． 5、设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 考向一 利用正态分布求概率 例1、“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ） A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大 变式1、设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 变式2、（2022·江苏如皋·高三期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A．0.43 B．0.28 C．0.14 D．0.07 变式3、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布，估计这些考生成绩落在的人数约为（ ） (附：，则，) A．36014 B．72027 C．108041 D．168222 变式4、（1）（2023·浙江·校联考三模）已知随机变量服从正态分布，若，则_____________． （2）（2023·福建泉州·统考三模）设随机变量，若，则____________． 考向二 正态分布的综合性问题 例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2). (1) 假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望； (2) 在一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04 10．26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95 经计算，得＝＝9.97，s＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值