单元提分专题03 全等三角形综合-2023-2024学年八年级数学上册单元测试定心卷（苏科版）

专题03八年级数学上册重点提分题（解析版） 全等三角形－综合题 1．如图所示，在，，平分交于点，延长至点，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】在上取一点F使得，连接，证明，得到，进一步证明，得到，即可证明． 【解析】证明：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【解析】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．已知AD⊥AB于A，BE⊥AB于B，点C在线段AB上，DC⊥EC，且DC=CE． （1）求证：AD+BE=AB； （2）将△BEC绕点C逆时针旋转，使点B落在AC上，如图（2），试问：AD，BE，AB又怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）BE= AB+AD，理由见解析． 【分析】（1）利用余角的性质得到∠ACD=∠BEC，从而证明△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到结论； （2）根据△ACD≌△BEC，得到AD=BC，AC=BE，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD． 【解析】解：（1）∵BE⊥AB， ∴∠BCE+∠BEC=90°， ∵DC⊥EC， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠BEC， 在△ACD和△BEC中， ∴△ACD≌△BEC（AAS）， ∴AD=BC，AC=BE， ∴AD+BE=AC+BC=AB； （2）由（1）可得：△ACD≌△BEC， ∴AD=BC，AC=BE， ∴BE=AC=AB+BC=AB+AD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容． 4．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； （2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【解析】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， ， ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC， ∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．在中，，，点为边上一点，过点作，交于点，连接，取的中点，连接，．    (1)观察猜想：如图（），与之间的数量关系是_______，与之间的位置关系是_____