专题03 等式与不等式性质（考点归纳与五大题型方法总结）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题03 等式与不等式性质 【题型归纳目录】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 题型四：利用不等式的性质证明不等式 题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【考点归纳】 考点1：不等关系与不等式 1．不等关系：不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 考点2：等式性质与不等式性质 1．等式的性质 （1） 性质1 如果a＝b，那么b＝a； （2） 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3） 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4） 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； （5） 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a. （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. （5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. （6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. （7）乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 考点3：比较两代数式大小的方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 【题型归纳】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 【例1】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（ ）． A． B． C． D． 【例2】某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______． 【方法技巧归纳】 在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一. 【变式演练】 1．某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（ ） A．且 B．或 C． D． 2．（2022·天津河北·高一期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（       ）． A． B． C． D． 3．某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（       ） A． B． C． D． 题型二：作差法、作商法比较两数(式)的大小 【例3】比较与的大小（ ） A．无法比较大小 B． C． D． 【例4】已知，试比较与的大小. 【方法技巧归纳】 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 【变式演练】 1．（多选题）（2022·江苏·高一）若，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 2．（多选题）对于实数，，，正确的命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 3．已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”） 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【例5】若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【例6】下列结论正确的个数为（ ） ①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种； ②若，则； ③一个不等式的