22.2.2 配方法解一元二次方程 教案 2023--2024学年华东师大版九年级数学上册

2023年-2024年眉山天府新区兴盛学校华东师大版九年级上配方法解一元二次方程教案 教学目标 1.了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法求代数式的最值，进一步解决有关实际问题． 教学重难点 【教学重点】 配方的概念，运用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 用配方法求代数式的最值，进一步解决有关实际问题． 课前准备 无 教学过程 一、课堂复习 选择合理的方法解下列方程(试题略) 二、情境导入 老师让学生解一元二次方程x2－6x+9＝0，同学们都很快完成，老师又要求学生解x2－6x—4＝0，学生们都束手无策，学习委员考虑了一下，在方程两边同时加上13，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？ 二、合作探究 探究点：配方法根据完全平方公式填空（略） 总结：配方就是配完全平方，配一次项系数绝对值一半的平方 【类型一】配方 例1、用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( ) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤： (1) 二次项系数为1，将常数项移到等号的右边，注意移项一定要变号 (2) 等式两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方 (3) 再用直接开平方法求解 学生 练习用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 老师解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－. 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需的形式． 【类型二】用配方法解方程 例2、 解方程 3X2+2X-1=0 总结配方法解一元二次方程的步骤： 1、 若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数) 2、 把常数项移到方程右边 3、 在方程的两边各加上一次项系数的绝对值一半的平方， 使左边成为完全平方 4、 如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根 【类型三】用配方法解决求值问题 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求 X2+3Y2的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝（-2）2+3×32=4+27=31 【类型四】用配方解决证明问题 用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零； 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7 ＝2(x2－2x＋1－1)＋7 ＝2(x－1)2－2＋7 ＝2(x－1)2＋5. ∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5， 故2x2－4x＋7的值恒大于零． 总结：1、非负数+正数恒大于零 2、非正数+负数恒小于零 三、板书设计 四、教学反思 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方．因此需熟练掌握完全平方式的形式.强调二次项系数为“1”配一次项系数绝对值一半的平方。 $$