第28讲 导数与三角函数结合问题的研究-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第28讲 导数与三角函数结合问题的研究 【考点分析】 1.分段讨论 ①以为端点分区间讨论; ②以三角函数的最值点为端点分段讨论. 2.巧用放缩,消去三角函数 ①正弦函数:当时,. ②余弦函数:. ③正切函数:当时,. ④数值域:. 【精选例题】 【例1】已知函数，，是的导数. (1)讨论的单调性，并证明：； (2)若函数在区间内有唯一的零点，求a的取值范围. 【例2】已知函数,其中为实数,是自然对数的底数. (1)若,证明:; (2)若在上有唯一的极值点,求实数的取值范围. 【例3】已知函数，. (1)求证：； (2)若，问是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由 【例4】已知函数． (1)讨论在上的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围． 【例5】已知函数，其中. (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)证明：，有. 【例6】已知函数. (1)若，判断在上的单调性； (2)设函数，若关于的方程有唯一的实根，求a的取值范围. 【例7】已知函数，． (1)求证：当，； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【例8】已知函数． (1)若，求证：； (2)当时，对任意，都有，求整数的最大值． 【例9】已知函数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)若，，求的取值范围． 【例10】已知函数为其极小值点． (1)求实数的值； (2)若存在，使得，求证：． 【例11】（2023全国新高考2卷）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知函数，e是自然对数的底数，若恰为的极值点. (1)求实数a的值； (2)求在区间上零点的个数. 2.已知函数． (1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3.已知函数，且恒成立. (1)求的值； (2)证明：. （注：其中为自然对数的底数） 4.已知函数，. (1)设，求函数的极大值点； (2)若对，不等式恒成立，求m的取值范围. 5.已知函数． (1)当时， （I）求处的切线方程；（II）判断的单调性，并给出证明； (2)若恒成立，求的取值范围． 6.已知. (1)当时，求在内的单调区间； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 7.已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，证明：; (2)当时，求函数零点个数． 8.已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，，求的取值范围. 9.已知函数． (1)证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点； (2)对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论． 10.已知函数． (1)若在上单调递增，求a的取值范围； (2)若函数在上存在零点，求a的取值范围． 11.已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 12.已知函数. (1)当时，证明：. (2)讨论的单调性. 13.（1）证明：当时，； （2）是否存在正数，使得在上单调递增，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第28讲 导数与三角函数结合问题的研究参考答案 【精选例题】 【例1】【答案】(1)答案见解析；(2)【详解】（1）因为，所以，当时，，则在上单调递增，当时，令得，令得，所以函数的增区间为，减区间为，令，则，令得，令得，所以函数的增区间为，减区间为，所以当时，取得最小值为，所以，得证； （2）由（1）知，，因为函数在区间内有唯一的零点，所以方程在区间内有唯一解，令，则函数与在上只有一个交点，记，则，所以在上单调递增，所以，即，故，所以在上单调递增，又，如图：要使方程在区间内有唯一解，则.所以a的取值范围是. 【例2】【解析】(1)证明:时,,令,则,当时,在上为减函数,当时,在上为增函数,函数的极小值也是最小值为,所以,而,所以,即. (2)在上有唯一的极值点等价于在上有唯一的变号零点,等价于,设, ,因为,所以,当时,在上为减函数,当时,在上为增函数,所以函数的极小值也是最小值为,又,所以当时,方程在上有唯一的变号零点,所以的取值范围是. 【例3】【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）令，，当，，所以此时单调递减；当，，所以此时单调递增；即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；（2）设，即证在上恒成立，易得，当时，若，下面证明：当时，，在上恒成立，因为，设，令，所以在上是单调递增函，所以，又因为，则所以在上是单调递增函数，所以，所以在上是严格增函数，若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，故当时，不等式恒成立. 【例4】【答案】(1)在上的单调递增；(2)【详解】（1），当时，，，，当时，，，，即：在上