热点专题03 直线的方程-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

热点专题03直线的方程 考点一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 考点二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 考点三、两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 考点四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 考点五、对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 题型一 倾斜角与斜率 【例1】直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知直线上两点，求直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： (1)，； (2)，． 【变式1-1】直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）      A． B． C． D． 【变式1-2】若直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知三点，，．    (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角． 题型二 直线与线段的相交关系求斜率范围 【例3】已知点，，若过的直线与线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【例4】已知点，，，点Q是线段AB上的动点． (1)求直线PQ的斜率的范围； (2)求直线PQ的倾斜角的范围． 【变式2-1】已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 题型三 求直线的方程 【例5】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例6】（多选）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）下列说法正确的是（    ） A．过点并且倾斜角为90°的直线方程为 B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．过两点的直线的方程为 【变式3-2】已知直线l过点，且直线l的斜率为直线的斜率的2倍，求直线l的方程. 【变式3-3】已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 题型四 直线的定点问题 【例7】已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【例8】已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是_____． 【变式4-1】直的方程为，则该直线过定点_____． 【变式4-2】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值_____． 【变式4-3】直线的方程为. (1)证明：直线恒经过第一象限； (2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围． 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 【例9】过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为_____. 【例10】已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式5-1】将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 _____． 【变式5-2】已知直线经过点,且与坐标轴围成的三角形的面积为,求直线的斜截式方程. 【变式5-3】过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程． 题型六 直线平行或垂直 【例11】已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条