2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）课件 2023--2024学年湘教版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法） 复习导入 一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根. 即　　　（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为： 下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？ 25 ， 0 ， ， 2 ， -3 ， . （a≥0） 探究新知 1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据题意得：200×150-3x2 ＝200×150×． 整理得：x2 - 2500＝0．① 如何求解呢？ 把方程写成：x2=2500. 这表明 x是2500的平方根，根据平方根的意义，得 x=或 x= . 因此，原方程的解为：x1=50，x2=-50. 答：圆的半径为50cm. 圆的半径不可能为负数，所以x2=－50不合题意，应当舍去 . 前面的探究解得的x1=50，x2=-50能使方程x2-2500=0左右两边相等. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 知识要点 x1=50，x2=-50就是方程x2-2500=0的根。 用所学的知识解下列方程，求出x的值，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1） x2=9 （2） x2=0 （3） x2+8=0 解：根据平方根的意义， 得x1=3，x2=-3. 解：根据平方根的意义， 得x1=x2=0. 解：根据平方根的意义， 得 x2=-8， ∵负数没有平方根， ∴原方程无解. 所用方法：将方程化为x2 = n的形式，根据平方根的定义求解x. 探究新知 知识要点 （2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； （3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根. 2.具体步骤：一般的，将一元二次方程化为x2 = n的形式： （1）当n>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根x1=，x2=； 解一元二次方程 实质上，一元二次方程 两个一元一次方程 转化 1.方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.简称开平方法. 典例精析 例2 解方程：4x²-25=0. 【总结】解一元二次方程时候，首先将方程化为x2=n(n≥0)的形式，再根据平方根的定义求解. 解：原方程可化为：x2=. 根据平方根的意义，得x=或 x= ， 因此，原方程的根为x1=，x2=. 典例精析 问题：当方程为（x+1）2=81时，能否直接开平方求解x的值？ 解：∵ （x+1）2=81形如x²=n， ∴将x+1看成一个整体 ∴ x+1=9或 x+1= ∴x=8或x=-10 因此，原方程的根为x1=8，x2=. 把一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 当堂练习 1.解方程 （1）9x²-49=0 （2）36-x2=0 解:(1)原方程可化为 x2= 根据平方根的意义，得 因此，原方程的根为 解:(2)原方程可化为 x2=36 解得 x=或 x= x1=，x2=. x1=，x2=. 例2 求解一元二次方程方程（2x+1）2=2. 解：将2x+1看成一个整体，根据平方根的意义， 得 2x+1= 或2x+1=- ∴x=或x=－ 因此，原方程的根为x1=，x2=. 典例精析 知识要点 解一元二次方程 1.形如（ax+m）2=n（a、n、m为常数且a≠0）的一元二次方程可用直接开平方法求解x． 求解方程：（ax+m）2-n =0（a、m、n为常数，a≠0） 解：将原方程化解为： （ax+m）2=n 根据平方根的意义，得 ax+m= 或ax+m=- ①当n<0时，方程无实数解； ②当n=0时，x 1 =x2= ③当n>0时，x1=，x2=. 例3 求解一元二次方程方程4(x+1)2-25=0. 解：原方程可化为， 根据平方根的意义， 得 x+1= 或x+1=- ∴x=或x=－ 因此，原方程的根为x1=，x2=. 典例精析 当堂练习 2.解方程 （1）( x+3)2-36=