专题1-1 空间向量与动点问题十四大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-1空间向量与动点问题十四大题型汇总 题型1共面问题与动点问题 2 题型2线线平行与动点问题 4 题型3线面平行与动点问题 5 题型4面面平行与动点问题 7 题型5线线垂直与动点问题 8 题型6线面垂直与动点问题 12 题型7面面垂直与动点问题 15 题型8线线角与动点问题 17 题型9线面角与动点问题 19 题型10面面角与动点问题 22 题型11点面、线面距离与动点问题 25 题型12点线、线线距离问题 28 题型13面积体积相关问题 29 题型14三角形形状问题 32 知识点一.利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： 1.根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示. 2.假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在. 知识点二.动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法. 1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若 R，使得 2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标. 3.依据：平面向量基本定理,若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，y∈R，使得 题型1共面问题与动点问题 【方法总结】 共面定理：平面向量基本定理,若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，y∈R，使得 【例题1】（2021·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，，，，． （1）求向量在向量上的投影的数量． （2）是否存在实数，使得点，，，共面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1-1】1. （2021·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且． (1)求证：面PAD； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在PB上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面． 【变式1-1】3. （2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且. (1)在侧棱上是否存在点，使得点四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值. 题型2线线平行与动点问题 【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．    (1)若，求该几何体的体积； (2)若AE垂直PD于E，证明：； (3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2021·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是BC，的中点，点G在AB上，． （1）已知上底面内一点H满足，求的长． （2）棱上是否存在一点K，使得GK，EF共面？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 题型3线面平行与动点问题 【例题3】（2023·全国·高二专题练习）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．    (1)求证：； (2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值； (3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】1. （2023·全国·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.    (1)求二面角的余弦值； (2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】2. （2023·全国·高二假期作业）如图：在正方体中，M为的中点.    (1)求证： 平面； (2)在线段上是否存在一点N，使得平面 平面，说明理由. 【变式3-1】3. （2023·全国·高二假期作业）如图，在平面五边形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，，，，，，垂足为H，将△ADE沿折起（如图），使得平面ADE⊥平面ABCD． (1)求证：⊥平面ABCD； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段BE上是否存在点M，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】4. （2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，，