专题1-2 棱柱相关解答题二十大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题1-2棱柱相关解答题二十大题型汇总 第一篇直棱柱篇 1 题型1平行关系 1 题型2垂直关系 4 题型3长度问题 7 题型4距离问题 8 题型5线线、线面角问题 11 题型6二面角问题 14 题型7线面角与动点问题 17 题型8二面角与动点问题 20 题型9体积与动点问题 21 题型10最值取值范围问题 22 第二篇斜棱柱篇 24 题型11平行关系 24 题型12垂直关系 27 题型13长度问题 28 题型14体积与距离问题 29 题型15线面角问题 31 题型16二面角问题 33 题型17线面角与动点问题 36 题型18二面角与动点问题 38 题型19体积与动点问题 40 题型20最值取值范围问题 41 第一篇直棱柱篇 题型1平行关系 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.证明：平面. 【变式1-1】1. （2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）如图，在三棱柱中，平面，，. （1）求证：平面； （2）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值. 【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，E，F分别为，的中点． （Ⅰ）在四边形内是否存在点G，使平面平面？若存在，求出该点的位置；若不存在，请说明理由； （Ⅱ）设D是的中点，求与平面所成角的正弦值． 【变式1-1】3. （2023·高二单元测试）如图，在三棱柱中，平面，，． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值． 【变式1-1】4. （2021春·北京·高二东直门中学校考期中）如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】5.（2020秋·广西百色·高二田东中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，平面，，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小； （3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）. 题型2垂直关系 【例题2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱． (1)在三棱柱中，求证：平面； (2)试判断直线是否与平面平行，并说明理由． 【变式2-1】1. （2022秋·河南开封·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【变式2-1】2. （2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱 中，底面，，，， 为的中点， 为侧棱 上的动点． (1)求证：平面平面； (2)试判断直线 与是否能够垂直．若能垂直，求的长；若不能垂直，请说明理由． 【变式2-1】3. （2023秋·河北唐山·高二校考期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）设为的中点，在平面内找一点，使得平面，求点到平面和平面的距离． 【变式2-1】4. （2021秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值. 题型3长度问题 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，. (1)求证：； (2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长. 【变式3-1】1. （2023·高二单元测试）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，且侧棱底面．试利用空间向量的方法解决下列问题： （1）设侧棱长为1，求证：； （2）设与的夹角为，求侧棱长． 【变式3-1】2. （2022秋·山东济南·高二济南一中校考期中）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点. （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值. 题型4距离问题 【例题4】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，平面，，点为中点. (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离.    【变式4-1】1. （2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点，交于点E． (1)证明：； (2)求点E到平面的距离． 【变式4-1】2. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，分别是棱的中点. (1)证明：