第2章 一元二次方程（压轴必刷各大名校30题专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第2章 一元二次方程（压轴必刷各大名校30题专项训练） 一、单选题 1．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知为正整数，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·重庆潼南·九年级校联考阶段练习）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论： （1）代数式：的“同心式”为； （2）若与互为“同心式”，则的值为1； （3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数； （4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则． 其中，正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023秋·福建泉州·九年级校考开学考试）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 二、填空题 5．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）已知整数满足，如果关于的一元二次方程的根为有理数，则的值为 ． 6．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 7．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题 8．（2022秋·山西临汾·九年级校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 9．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市实验中学校考阶段练习）如图，，，C、B、D在同一条直线上． （1）若，，连接，求的长． （2）如图设a、b、c是和的边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾股方程”． ①写出一个“勾股方程”； ②判断关于x的“勾股方程”根的情况并说明理由； ③若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 10．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知关于x的方程． 求证：不论为何实数时，方程有固定的自然数解，并求这自然数； 设方程另外的两个根为、，求、的关系式； 若方程的三个根均为自然数，求的值． 11．（2022秋·湖南湘西·九年级校联考阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： (1)若是倍根方程，求的值； (2)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图像上，求此倍根方程的表达式． 12．（2022秋·四川凉山·九年级校考阶段练习）有一块长为，宽为的矩形场地，计划在该场地上修建宽均为的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪． (1)已知，，且四块草坪的面积和为，则每条道路的宽x为多少米？ (2)已知，，且四块草坪的面积和为，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ (3)已知，，要在场地上修建宽均为的纵横小路，场地中有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中，m，n为常数），使草坪地的总面积为，则______（直接写出答案）． 13．（2022秋·贵州铜仁·九年级校考期中）阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 14．（