第一单元 一元二次方程 单元综合练 2023--2024学年苏科版九年级数学上册

第一章（巩固知识点） 知识1 什么是一元二次方程？ 一元二次方程的三要素？ 典例：下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 小练习 1.下列方程中，一元二次方程共有（　　） ①3x2+x＝20 ②2x2﹣3xy+4＝0 ③x3﹣x＝1 ④x2＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 若关于x的方程7＝0是一元二次方程，则a＝　 　． 知识2 一元二次方程一般形式： 一元二次方程一般形式中，谁是二次项、二次项系数？ 对应的一次项，一次项系数是什么？常数项又是谁？ 典例： 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 小练习 将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　） A． ﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2 知识3 什么是一元二次方程的解（根）？ 形如关于x的一元二次方程：x2+1=5，它的解或根指的是？ 典例： 关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根x=0,则a的值为（ ） A.1 B.-1 C.1或-1 D. 小练习 1. 若关于x的方程有一个根是1，则m的值为（　　） A 3 B. 2 C. 1 D. 2.已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（　　） A．2019 B．2021 C．2023 D．2026 3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2023的值为　 　． 知识4 解一元二次方程的方法 直接开平方 什么样的形式可以直接开平方？ ②配方法 什么叫做配方法？ 步骤是什么？ ③公式法 公式是什么 ④因式分解法 什么叫做因式分解法？ 因式分解有哪些方法 ？ ①②④都是把一元二次方程转化为一元一次方程，既为什么？ 典例： 解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣36＝0 （2）﹣2x2﹣2x﹣＝0 （配方法） （3）（x+1）（x﹣2）＝4 （公式法） （4）（x+3）2＝（1﹣2x）2 小练习 (1) （4-y）2-2=0 （2） 2x2﹣5x+1＝0 （配方法） （3）（x+3）（x﹣1）＝5 （公式法） （4） （x+1）2=3x+3 知识5 一元二次方程根的判别式是什么？ 典例： 若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是___________ （写出一个符合条件的值即可）． 小练习 1.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　． 2已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． （2）若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 知识6 一元二次方程根与系数之间的关系是什么？ 典例： 已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．则　 　 小练习 1.于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2 2.已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．求x1﹣x2的值． 拓展 1. 换元 ①已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2023的值为　 　． ②已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1 ③ 已知一元二次方程a（x2+m）2+n＝0(a≠0)的两根分别为-3，1，则方程a（x2+m-2）2+n＝0(a≠0)的两根分别是　 　． 2.最值 ①求代数式+4y+8的最小值 ②求代数式4-+2m的最大值 ③已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 3.新运算 定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是