4.7.1 相似三角形的性质（第1课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第四章 图形的相似 第7节 相似三角形的性质（1） 学习目标 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 情景引入 A C B A1 C1 B1 问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？ △ABC∽△A1B1C1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 相似三角形对应线段的比 1— 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。 (1)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。 (2)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又 ∠AHB=∠A′H′B′=90° △AHB∽∠A′H′B′ 同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比 证明 问题2：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′ 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线， ∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′ ∴△ABT∽△A′B′T′ 同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比. A B C A′ B′ C′ D D′ 证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ ∵ D、D′分别是BC和B′C′的中点 ∵∠B=∠B′ ∴△ABD∽△A′B′D′ 同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 特别提醒： (1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段； (2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序. 典例精析 例1.如图，AD是ΔABC的高，点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. （1）AE是Δ ASR的高吗？为什么？ （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ （3）求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解：AE是ΔASR的高. 理由如下： ∵AD是ΔABC的高， ∴ ∠ADC=90 °. ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR ∥BC， ∴∠AER=∠ADC=90 °， ∴ AE是ΔASR的高. BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. S R Q P E D C B A BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S R Q P E D C B A 解：ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR∥BC ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C ∴ ΔASR与ΔABC相似. BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形. （3）求正方形PQRS的边长. 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC， AE、AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高， 设正方形PQRS的边长为x cm, 则SR=DE=x cm，AE=（40-x）cm. ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. S R Q P E D C B A 例2.两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为xcm， 则由相似性质有 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. 典例精析 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D、E在BC边上，点D′、E′在B′C′边上. （1）若∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，则 等于多少？ （2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则 等于多少？ （3）你还能提出哪些问题？与同伴交流. 相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比。 证明 ∵ △ABC