3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第1课时 夹角问题）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系（第一课时夹角问题） 温故知新 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 一、用向量法研究夹角问题 如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作a，b的平行线 a′和 b′， a b P a′ b′ O 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， θ 称为异面直线a，b所成的角. O a′ 若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成角θ的取值范围： . 平移 一、线线角 夹角问题： l m l m 异面直线所成角 例1 如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB =2, BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值. 解 设s1,s2分别是AC'和A'D的一个方向向量，取 s1= ,s2=. 因为A(0,0,0),C'(2,1,3),A'(0,0,3),D(0,1,0), 所以 s1==(2,1,3), s2== (0,1,-3). 例1 如图3-41,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',AB =2, BC=1, AA' = 3.求AC'与A'D所成角的余弦值. 设AC'与A'D所成角为θ，则 cosθ====. 故AC'与A'D所成角的余弦值为. 你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？ 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题       解1：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以 与 所成角的余弦值为 解2 立体几何法 二、线面角 　直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当 它们不垂直时， 一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条 直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足． 可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的， 如何刻画这种不同呢？ 斜足 平面 的斜线 3．直线与平面所成的角 师生活动：学生阅读教材P228页，思考，举手回答． 设计意图：培养学生探究，归纳的能力． 　如何作直线与平面所成的角？ 过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂直，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影． 追问 直线与平面所成的角的范围是多少？ 根据直线与平面所成的角定义可知，范围是［0，90°］． 平面的一条斜线与在这个平面上的投影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角． 3．直线与平面所成的角 师生活动：学生阅读教材P228页，思考，举手回答． 设计意图：培养学生探究，归纳的能力． 夹角问题： l l 例2 如图3-44,在正三棱柱ABC -A'B'C'中，底面边长为2, AA'=, 求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 解 由正三棱柱知AA'丄平面ABC,故以点A为原点, AC,AA'所在直线分别为y轴、 Z轴，如图3-45建立 空间直角坐标系.易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一 个法向量. 由△ABC是边长为2的正三角形，可得B'(,1,). 所以 =(,1,). 例2 如图3-44,在正三棱柱ABC -A'B'C'中，底面边长为2, AA'=, 求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值. 设直线AB'与侧面ACC'A'所成的角为θ,则 sinθ===. 所以直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为. 变式： 的棱长为 1. 解1 建立直角坐标系. A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F   的棱长为 1. 解2 立体几何法 A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F   P 变式： 三、面面角 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。 1、半平面： 2、二面角： 半平面及二面角的定义 棱 面 面 半平面 半平面 1、二面角的画法： （1）平卧式 （2）直立式 二面角的 画法与记法 2、二面角的记法： 面1－棱－面2 （1）、以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为： （2）、以直线AB 为棱，以 为