通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题）- 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

通关练05 空间向量与立体几何近五年高考真题4考点精练（30题） 考点一 异面直线所成的角 1．（2022•全国）在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 　　． 考点二 直线与平面所成的角 2．（2019•全国）正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦值为　　 A． B． C． D． 3．（2020•北京）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2019•浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值． 5．（2022•浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2022•甲卷）在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 7．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值． 8．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 9．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 考点三 平面与平面所成的角 10．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 11．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 12．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 13．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 14．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值． 15．（2019•浙江）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）．记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则　　 A．， B．， C．， D．， 16．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值． 17．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 19．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 20．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 21．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 22．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 23．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点． （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 24．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2． （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的二面角的大小． 25．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥中，，，，为中点． （1）证明； （2）点满足，求二面角的正弦值． 26．（2022•天津）直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 27．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．