1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 学习目标 学习目标 1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些？ [答案] 向量的加法、减法、数乘运算. 2.空间向量的线性运算满足哪些运算律？ [答案] 向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律. 预学忆思 3.如何确定两条异面直线的夹角？空间向量的夹角应该如何定义，如何表示，其取值范围是多少？如何定义空间向量的垂直？ [答案] 设 <m></m> ， <m></m> 是两条异面直线，经过空间任一点 <m></m> 作直线 <m></m> ， <m></m> ，把 <m></m> 与 <m></m> 所成的锐角（或直角）称为直线 <m></m> ， <m></m> 的夹角.已知两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ，在空间任取一点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 即向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角，其范围是 <m></m> .若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 相互垂直. 4.类比平面向量数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算？ [答案] <m></m> . 5.类比平面向量数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ [答案] 空间向量数量积的运算满足交换律、结合律和分配律. 6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角？ [答案] 能判断垂直关系，若 <m></m> ，则向量 <m></m> ， <m></m> 垂直. <m></m> . 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两向量的数量积是实数.( ) √ （2） 对于非零向量 ， ， 与 ， 相等.( ) × （3） 对于任意向量 ， ， ，都有 .( ) × （4） .( ) √ 自学检测 2.已知两异面直线的方向向量分别为 ， ，且 ， ，则两直线的夹角为( @11@ ). A. B. C. D. B [解析] 设向量 <m></m> ， <m></m> 的夹角为 <m></m> ，则 <m></m> ，所以 <m></m> ，则两个方向向量对应的直线的夹角为 <m></m> . 3.已知 ， ， 是两两垂直的单位向量， ， ，则 等于______. <m></m> [解析] <m></m> . 4.已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 上的投影向量为_______. <m></m> [解析] 空间向量 <m></m> 在向量 <m></m> 上的投影向量为 <m></m> . 概念生成 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作=，= 则∠AOB叫做向量的夹角，记作. O B A O B A 如果=，那么向量互相垂直，记作. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 思 问题 平面向量的数量积是什么？类比平面向量数量积得出空间向量的数量积运算。 平面向量的数量积： 由于我们也定义了空间夹角，所以这也空间向量的数量积 概念生成 空间向量的数量积： 零向量与任意向量的数量积为0. 由向量的数量积定义,可以得到: =||||cos= 注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。 平面向量的数量积 空间向量的数量积 已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner product），记作a · b . 即 a · b＝|a||b|cos〈a，b〉. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 由向量数量积定义，可以得到： ① 若a，b是非零向量，a⊥b ⇔ a · b＝0； ② a · a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 . 证明空间中的垂直关系 求空间中线段的长度 思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，