第1章特殊平行四边形 解答题优生辅导训练 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 解答题优生辅导训练（附答案） 1．如图，已知平行四边形的对角线、交于点O，且． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)F为上一点，连接交于E，且，若，求的长． 2．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 3．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，过边的中点O，作，交于点E，过点A作，与的延长线交于点D，连接，若平分，于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：四边形是矩形． 5．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于点E，连接． (1)四边形是_______ A．矩形    B．菱形    C．正方形    D．无法确定 (2)若四边形的周长为40，，相交于O，且，试求 ①的度数； ②的长． 6．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，， ①当四边形是菱形时，求的长； ②当______时，四边形是矩形． 7．（1）如图1，在矩形中，E是的中点，将沿折叠得到，点F在矩形内部，延长交于点G．求证：； （2）如图2，将（1）中的“矩形”这一条件改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论是否仍然成立？请说明理由； （3）若将（1）中的“矩形”这一条件改为“任意四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请增加一个条件，使它成立（无需证明）． 8．【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，属于垂美四边形的是______；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 9．综合与实践：如图1，已知点是正方形对角线上一动点（点不与点，重合），连接． (1)实践与操作：在图1中，画出以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°的线段，并且连接（补全图形，请标注字母）． (2)观察与猜想： 猜想1，和之间的位置关系______； 猜想2，和之间的数量关系______． (3)探究与发现： ①如图2，若点在延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由； ②如图3，若点为延长线上一点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°得到线段，连接，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由． 10．在菱形中，点G在直线上，E为边的中点，交直线于点F． (1)如图①，求证：； (2)如图②、图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明． 11．在菱形中，． (1)如图1，点为线段的中点，连接，，若，求线段的长； (2)如图2，点为线段上一点（不与，重合），以为边，构造如图所示的等边三角形，线段与交于点，连接，．点为线段的中点，连接，．求证：． 12．如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且，． (1)求证：四边形是正方形． (2)如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 13．实践与探究 【操作一】如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿EF折叠，使点B与点D重合，点C的对应点是点．求证： 【操作二】在操作一的基础上， 将矩形纸片沿DF继续折叠，点A的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕EF上时，______． 【拓展】如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕EF上时，点N为上任意一点，连接EN、．若，则的最小值为______． 14．如图1，已知：在菱形中，，E，F分别是上的动点，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)如图2，连接，求面积的最大值． 15．【问题情境】如图①，在正方形中，E为边上一点（不与点B、C重合），垂直于的一条直线分别交于点M、P、N．判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图②，若垂足P恰好为的中点，连接，交于点Q，连接，并延长交边于点F．则的大小为 度． 16．四边形为矩形，E是延长线上的一点． (1)若，如图1，求证：． (2)如图2，，点F是上的点，，于点G，，，求的长度． 17．（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【