1-4基本不等式学练案-2024届高三数学上学期一轮复习

菏泽一中高三年级上学期数学学练案（第4期） 编写人：朱振国 审查人： 吕亮 使用日期：2023. 09. 08 1-4：基本不等式 一、自主复习【查】 【必备知识】 知识点（一）、基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中， 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数． 变形： a+b≥ ；ab≤ ,当且仅当 时取等号. 知识点（二）、重要不等式 a2＋b2≥ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 知识点（三）、利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0， (1)如果积xy等于定值P，那么当 时，和x＋y有最小值 (简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 (简记：和定积最大)． 1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性． 自主训练： 1.（2021·辽宁大连·高三学业考试）已知，函数的最小值为__________． 2.（2021·嘉兴期中）已知0＜x＜，则x(5－4x)的最大值是________． 3.（2022·重庆·模拟预测）等比数列满足，则的最大值为__________. 4．（2022·山西大同·高三阶段练习（理））已知点在直线上，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D．4 5. （教材习题改编）设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 6（2023菏泽一模7）设实数满足，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.（2023济宁一模15）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______. 二、师生研学【研】 【学习过程】 考点1　利用基本不等式求最值——综合性 考向1　拼凑法求最值 例1(1)若函数f (x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________. (2)函数y＝(x>1)的最小值为________． 变式 【2021年上海卷】已知函数 拼凑法求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 考向2　常值代换求最值 例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________． 变式：【21年上海卷】已知函数 （）的最小值为，则 1．将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________． 2．本例条件不变，则的最小值为________． 考向3　消元法求最值 例3 若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A． B． C． D． 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点2　利用基本不等式解决实际问题——应用性 (2021·泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件． (1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2＋x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？ 三、训练提升【练】 【当堂检测】 1．若，则（ ） A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 2．已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 3.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ） A． B． C． D． 4．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 5．（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为__