1.1.2 空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题. 核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象 复习引入 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作. 通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 新知探究 问题导入：在正方体为的中点，点为上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角？ 我们知道任意两个空间向量可平移到同一平面，因此可转化为平面向量再求其夹角。 两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？ 新知探究 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作. 如果，那么向量互相垂直，记作. 通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 空间向量夹角定义 新知探究 思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？ 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 向量的数量积定义，可以得到： . 平面向量的数量积 空间向量的数量积 已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner product），记作a · b . 即 a · b＝|a||b|cos〈a，b〉. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 由向量数量积定义，可以得到： ① 若a，b是非零向量，a⊥b ⇔ a · b＝0； ② a · a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 . 证明空间中的垂直关系 求空间中线段的长度 思考 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？ 空间向量数量积的运算律 数量积的计算 例　如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： 典例剖析 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 反思感悟 求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入＝求解. 跟踪训练　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析　∵且 ∴ ＝3＋0－2＝1. 2 ＝4－0＋0－2＝2. 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2，点N为AA1的中点． 求cos〈，〉的值． 解　因为＝－＝＋－， ＝＋， 所以||2＝()2＝2＋2＋2＝12＋22＋12＝6，||＝， ||2＝(＋)2＝2＋2＝12＋22＝5，||＝， ＝()·()＝2－2＝22－12＝3， 所以cos〈，〉＝＝＝ 利用数量积求夹角 空间向量的数量积 空间向量的数量积 求两个非零向量夹角的两种途径 (1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角的余弦值：cos〈，〉= 方法总结 探究 利用数量积求距离或长度 例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 例、如图，m、n是平面a内的两条相交直线，如果 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥a m n l g 习题1.1#8、在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 a O P A l 已知：如图，PO，PA分别是平面a 的垂线、斜线，AO是PA在平面a内 的射影，l ⊂ a，且l⊥OA， 求证： l⊥PA 例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的 长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：AB⊥CD； A B C D E F 例、已知空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的 长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：AB⊥CD； （2）求AE、CF所成角的余弦值； 解：∵点E、F分别是BC、AD的中点 A B C D E F 例、已知空间四边形ABC