第一次月考B卷（新高考地区专用，测试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式）-学易金卷：2023-2024学年高一数学上学期第一次月考

2023-2024学年高一数学上学期第一次月考 B卷·重点难点过关测 全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意可知集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即可得答案. 【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个， 于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即． 故选：C. 2．不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在不等式中出现两个变量，对其进行变形令则转化为含参数的不等式，在上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：， 令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即， 又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值， 故可得. 故选：A． 3．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 4．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，则，则， 又因为表示不大于的最大整数， 所以不等式的解集为：， 因为所求的是不等式成立的充分不必要条件， 所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B. 5．已知a，b，c为正实数，则代数式的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值. 【详解】设题中代数式为M，令，则， ， ， 于是 ， 等号当时，也即时取得， 因此代数式的最小值为． 故选：A. 6．设集合，其中为实数． 令，．若的所有元素和为，则的所有元素之积为（    ） A．0 B．2 C．4 D．0或4 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积 【详解】根据集合中元素的互异性，且.由题意，. 情况一：若时 当时，，，， 的所有元素和为，符合题意，此时的所有元素之积为； 当时，，，， 的所有元素和为，不符题意； 情况二：若时，此时，，， 但此时含有唯一的无理数，不可能元素之和为； 情况三：若，，且时，则中只有唯一重复元素， 则，由题意，即， 此时，矛盾. 综上所述，时符合题意，此时的所有元素之积为. 故选：A 7．设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，对每个选项进行证明，对选项D，进行特值检验，即可. 【详解】选项A，要证，只需证即可. 由题意可知，则成立，则成立. 要证，只需证 由题意可知，则， 又因为，所以，则，即成立 故选项A成立，不符合题意. 选项B，要证，只需证即可. 由题意可知，则，成立. 所以成立，即. 要证，只需证，只需证 由题意可知，则，，，. 所以成立，即成立. 故选项B成立，不符合题意. 选项C，要证，只需证即可. 由题意可知则. 又因为，所以. 所以成立，即. 要证，只需证即可 由题意可知则. 又因为，所以. 所以成立，即成立. 故选项C成立，不符合题意. 选项D，令，，则 即，所以不成立，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查不等式与不等关系，属于较难题. 8．已知，，且，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】，，配凑得：， 两边同时除以4得：，即， 令，，则，，， 所以 （当且仅当即时，等号成立）. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】对于B，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A，C，D根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断. 【详解】对A，，得到：