第二章直线与圆的习题课教学设计（2）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与圆习题课 ---动点问题 一、教学内容及其解析 1.内容：直线与圆的习题课共设置三个课时，本节课是第二课时，主要内容是动点轨迹为圆的相关问题． 2.内容解析： 内容的本质：本节课是直线与圆部分的习题课，学生已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的巩固深化和拓展延伸；通过求动点的轨迹，使学生进一步体会坐标法在解析几何中的应用，后面学习圆锥曲线等内容奠定基础. 蕴含的数学思想和方法：直线与圆是解析几何的起始内容，解析几何是以数形结合思想贯穿始终，以坐标法统领全局.通过这一部分内容的学习，学生初步体会解析几何的基本思想方法，用代数方法解决几何问题. 知识的上下位关系： 育人价值：解析几何是将代数和几何完美结合的一部分内容，是渗透数形结合思想非常好的载体.坐标法首先要用几何的眼光分析问题，把要研究的几何问题进行合理转化和简化，然后再借助坐标将几何问题转化为代数问题，通过代数运算去解决几何问题，整个过程培养学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养. 二、学情分析 1. 知识技能储备：学生前面学习了直线和圆的方程，并学习了判断直线与圆的位置关系的两种方法,学生初步掌握了如何将几何问题转化为代数问题，并利用代数运算研究几何性质，对解析几何解决问题的基本思想方法有了一定的认识. 2.学习中困难：对于与圆相关的动点轨迹问题一直是个难点，尤其是坐标法的应用还存在一定困难，几何条件怎样合理的代数化以及代数化后的化简和分类讨论，还需要老师给与相应的指导. 三、教学目标及其解析 目标 达成目标的标志 1.通过引入问题，引导学生思考圆上的点所满足的几何条件.培养学生的直观想象素养. 能够根据圆的定义得出引例中动点的轨迹是圆，能够说出圆上的点满足的几何条件并用代数语言描述. 2.通过求动点轨迹方程，使学生经历坐标法的完整过程，培养学生数学运算和逻辑推理等核心素养. 能说出相关点法的适用情况和基本步骤；能梳理出坐标法的4个基本步骤. 3.通过对含参数方程的分类讨论，使学生经历由特殊到一般的过程，培养分类讨论的思想. 会将几何条件代数化并进行化简，对于含参数的方程有分类讨论的意识. 四、教学问题诊断分析 认知基础 与将要达到水平的差异 难点 解决办法 圆的定义和一些几何性质学生在初中已经学习过，学生掌握比较熟练. 在动点的轨迹问题中，动点的运动规律比较抽象，学生很难入手. 动点轨迹的探求. 通过ggb等技术手段帮助学生探索动点运动的规律. 圆的一般方程和圆的标准方程及直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系学生也基本掌握. 判断一个二元二次方程是否是圆对于学生来说有些困难，尤其是方程中含参数时就更加困难，其次， 含参数方程的分类讨论; 通过前测复习系数含参数的二元二次方程与圆的一般方程的关系. 坐标法学生在学习直线和圆的方程中都有涉及. 学生虽然在之前学习中用到过坐标法，但是对坐标法没有一个系统的认识. 坐标法的求轨迹方程. 在教学中通过一系列问题串让学生经历坐标法的完整过程并形成稳定的实施步骤. 五、教学支持条件分析 计算机：PPT展示；ggb安装和使用. 6、 教学重难点 【教学重点】通过几何特征及坐标化后的代数式识别圆，坐标法求动点的轨迹方程. 【教学难点】用坐标法求动点的轨迹方程，含参数轨迹方程的分类讨论. 7、 教学过程设计 （一）提出问题，引发思考 引例：已知一定点，若动点满足，求点的轨迹？ 由圆的定义知道，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【问题1】除了引例外，你还知道满足怎样的几何条件的点的轨迹是圆吗？ 【预设1】已知为两个定点，若动点满足，则点P的轨迹是以为直径的圆. 【预设2】已知为两个定点，若动点满足，则点P的轨迹是以为直径的圆. 【追问1】以为直径的圆上的点都满足吗？你能求出此轨迹的方程吗？ 因为当与重合时不满足，所以圆上除了点和点外都满足，所以点轨迹是以为直径的圆抠去两点. 求此圆的轨迹方程则需要建立平面直角坐标系，若以所在直线为横轴，以线段中垂线为纵轴建系，设长为，则圆的方程为（）. 【追问2】以为直径的圆上的点都满足吗？ 因为当与或重合时，满足或，所以圆上所有点都满足，所以点轨迹是以为直径的圆. 【小结】求轨迹方程时要注意验证完备性，是否轨迹上所有点都满足条件. 【继续研究】还有哪些几何条件能使点P的轨迹是圆呢？让我们来继续研究! 设计意图：提出问题引发思考，引导学生先从几何直观的角度梳理怎样的点的轨迹可以是圆，再通过追问让学生明确本节课要研究的内容. （二）典例分析，问题再探 例1. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆C：上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程；（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系.