第二十二章一元二次方程 回顾与思考教案 2023-2024学年华东师大版九年级数学上册

一元二次方程（回顾与思考一） 书院初级中学校 陈进 【教学目标】： 知识目标：进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数理解一元二次方程的四种解 法以及根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用. 能力目标：能灵活运用四种解法解一元二次方程，能够运用它们去解决实际问题.综合性问题 情感目标：培养认识事物从特殊到一般的认识过程.培养学生学习数学思维镇密.严谨的学习态度。 【教学重难点】： 重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法 难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用. 【教学准备】：电子白板 教学学案 【教学过程】 【知识梳理】 考点一：一元二次方程的相关概念 一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二 次方程.一元二次方程的一般形式是 ,其中叫做二次项 叫 做一次项， 叫做常数项： 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一 元二次方程的根 注：判断一个方程是不是一元二次方程，应化成一般形式后再进行判断.注意一元二次方程一般形 式中a10。 考点二：一元二次方程的常用解法： 1.基本思想 一元二次方程 )一元一次方程 2.基本解法 (1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解 注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法 考点三：一元二次方程根的判别式：一元二次方程中，b2-4aC叫做一元二次方程的根的判别 式，通常用“△”来表示，即 (1)当△>0时.一元二次方程有2个不相等的实数根： (2)当△=0时.一元二次方程有2个相等的实数根： (3)当△<0时.一元二次方程没有实数根. 考点四：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程x+br+c=0(a≠0)的两个实数根是，，2. b +x2=- xx2=- 那么 a a 注(1)它的使用条件为a≠0，△≥0. (2)一元二次方程根与系数的应用很多： 1)已知方程的一根.不解方程求另一根及参数系数： 2)已知方程.求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数： 3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程. 【题型演练】 类型一：一元二次方程的相关概念 例1已知a是一元二次方程-3x-5=0的根.求代数式2a+3川2a-3)-a(a+9) 的值 【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算原式，然后根据方程根的定义可得 a-3a=5 ,再结合化简后的式子整体代入求解即可. 解：(2a+3j2a-3)-aa+9 =4a-9-a2-9d ,=3a-9a-g a是一元二次方程-3x-5=0的根 r-3a-5=0,即a-30=5. 原式=3a-3a小-9=3x5-9=6 归纳拓展：本题考查了一元二次方程根的定义、整式的乘法运算和代数式求值，熟练掌握整式的运 算法则、掌握整体代入的方法是解题关键， 练习1.下列方程中是一元二次方程的有（) 9x2=7x2y ,=8③3y(y-1)=y(3y+1)④2-2y+6=05V2(x2+1)=√10 r2-X1=0 4 A.①23 B.①35 C①25 D.6①5 2.方程-3x(x+1)=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是 3.关干x的-元二次方程(n+3)x+(n-1)x+3n=0中，则一次项系数是 4.三角形两边的长是3和4.第三边的张是方程X-12x+35=0的根，则该三角形的周长为 类型二：一元二次方程的常用解法 例2解方程 (1)(x+3)2=5:(2)(x-1)(2x十5)=0：(3)4x(x+1)+1=0:(4)2x+3x=6. 分析：选择恰当的方法是快速解方程的有效途径， 解：(1)直接开平方，得x十3=±. 所以方程的解为西=一3+5，国=一3-5. (2)由题意.得x-1=0或2x+5=0, 所以方程的解为 (3)整理，得(2x+1)2=0, 所以方程的解为 西=玉=- 2 (4)化为-般式.得2x2十3x一6=0， △=3-4×2X(-6)=57, =装厘-3兰匣 所以 2X2 4 玉=-3+ 42,x=3-@ 4 所以方程的解为 归纳拓展：在解一元二次方程时，要观察方程的结构特点，在没给出解法要求时，解法选择的顺序 是直接开平方法、因式分解法、公式法配方法用得较少，但若二次项系数为1，一次项系数为 偶数时，用配方法也比较简单 练习5解方程： (1)+1Gr-)=1 (2)2x-4r+3=0 (3)(x-3=6-2 (4)2(x-2f=x2-4 2 (5)x+1- 类型三：一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数关系 例3已知关于x的方程x+(n+2)x+2