专题02 常用逻辑用语（考点归纳与六大题型方法总结）-2023-2024学年高一数学章节复习与专题突破讲与练（人教A版2019必修第一册）

专题02 常用逻辑用语 【题型归纳目录】 题型一：充分条件与必要条件的判断 题型二：全称量词命题和存在量词命题的判断及真假 题型三：充要条件的探求与证明 题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定 题型五：根据充分必要条件求参数的取值范围 题型六：全称量词命题与存在量词命题求参数 【考点归纳】 考点1：命题的定义与表示 1．命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2．命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 考点2：充分条件条件、必要条件、充要条件 1．充分条件与必要条件定义 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。 （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作pq. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。 3．充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 【补充】概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． （1）若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件． （2）若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． （4）若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【说明】 ① 充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 ② 充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 考点3：充分、必要、充要条件的证明 1．证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2．证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 【注意】尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点4：全称量词与存在量词及真假 1．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词与存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． （3）特称命题：含有存在量词的命题也叫做特称命题. 3．判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 4．判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 考点5：含有一个量词的命题的否定 1．全称命题的否定 原命题 全称命题 原命题的否定 特称命题 2．特称命题的否定 原命题 特称命题 原命题的否定 全称命题 【微点拨】全称命题与全称量词、特称命题与存在量词 全称量词 指定范围 否定形式 全称命题 所有的 任何的 任意的 整体或全部 有些 有的 存在 对M中任何x，有p(x)成立 记：， 都是 不都是 对M中任何x，p(x)不成立 记：， 存在量词 指定范围 否定形式 特称命题 有一个、存在 整体的 一部分 没有、 不存在 在M中存在某x，有p (x) 成立记：，p (x) 至少有一个 一个也没有 在M中存在某x，p (x)不成立 记：， 至多有一个 至少有两个 命题否定