1.3正方形的性质与判定 同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级上册 姓名 班级 学号 成绩 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．下列命题中，正确的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 2．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（　　） A．4 B．32 C．64 D．128 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且，则∠EBC的度数是（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．20° 5．如图，正方形的面积为，菱形的面积为，则，两点间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（　　） A． B．6 C． D．2+ 7．如图，在正方形外侧作直线，点C关于直线的对称点为M，连接，.其中交直线于点N.若，则当时，正方形的边长为（　　） A． B．5 C． D． 8．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③ ；④ 的周长是一个定值．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9．一个长方形的长减少2cm，宽增加1cm，就成为一个正方形，并且正方形的面积比原长方形的面积小，则原长方形的面积为　 　。 10．如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为　 　． 11．如图，已知四边形是正方形，顶点A、B在坐标轴上，，，则点D的坐标是　 　． 12．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，连接DG，那么∠BGD＝　 　度． 13．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，则的长度为　 　． 三、解答题：（本题共5题，共45分） 14．如图，和以为边的正方形，已知，，，求正方形的面积． 15．如图，在正方形 中，点E、F分别在 上，且 是等边三角形. 求证： . 16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长． 17．如图，四边形是正方形，以为边在正方形的外部作等边，连接，，与交于点，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 18．如图，已知正方形，是对角线上任意一点，为上的点，且，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）求证：． 参考答案： 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．28 10． 11．(6，9) 12．135 13．3 14．解：，，， ． 四边形是正方形， 正方形的面积是． 15．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=90°， ∵△BEF是等边三角形， ∴BE=BF， 在Rt△ABF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CBE（HL）， ∴AF=CE， ∴CD-CE=AD-AF， ∴DE=DF. 16．解：∵正方形ABCD， ∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG+∠BEF=90°， ∴∠AGE=∠BEF， ∴△AEG∽△BFE， ∵E为AB边的中点， ∴GA：AE=BE：BF， ∴AE=BE= ，GE= ，EF= ，GF= =3． 另法：取GF的中点H，连接EH， ∵GA∥BF，GF和BA不平行， ∴四边形GABF是梯形， ∴EH= （梯形中位线定理）， ∵GA=1，BF=2， ∴EH= ， ∵∠GEF=90°， ∴△GEF是直角三角形， ∴GF=2EH=2× =3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 17．（1）解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 故答案为：； （2）证明：如图，连接． 四边形是正方形，是等边三角形， ，， ， ， ， ． ， 同法可证， ， ， ， ， ． 18．（1）证明：四边形是正方形， ，平分， ，， ，， 四边形