1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 学习目标 1.会识别空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题. 核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 问题 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？ 追问(1) 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 追问(2) 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？ 一.两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量 的夹角， 记法： 作 范围： 一.两个向量的夹角 一.两个向量的夹角 思考 1 = 思考 2 在正🔺ABC中， 60° 120° 60° 口诀： 首首尾尾是夹角 首尾相接找补角 二.空间向量的数量积 零向量与任意向量的数量积为 . 0 实数 二.空间向量的数量积 投影向量 二.空间向量的数量积 请类比平面向量的数量积运算，思考下面两个问题： 问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？ 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. ③特别地，a·a＝____或|a|＝ ④若〈a，b〉为a，b的夹角，则cos〈a，b〉＝_______ ⑤|a·b|≤|a|·|b| 三、空间向量的数量积的性质 a·b＝0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 ＝ ||cos< > 解惑提高 空间向量的数量积满足如下的运算律： (交换律) (分配律). 思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的运算律吗？ 四、空间向量的数量积的运算律 思考：类比平面向量的投影，在空间中， （）向量向向量的投影有什么意义？ （）向量向直线的投影呢？ （）向量向平面β的投影呢？ 向 的方向向量投影 向 平面β内的射影直线投影 思考1：对于三个均不为0的数，若，则.即数有消去律，那么对于向量，由，你能得到吗？ 不能. 如， 时 思考2：对于三个均不为0的数，若，则(或).对于向量，由，能不能写成的形式？ 不能. 向量没有除法 思考3：对于三个均不为0的数，有对于向量，成立吗？为什么？ 不能. 共线， 与，但不一定共线 追问(1) 由a·b＝0，能否得到a＝0或 b＝0？ 不一定！ 因为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0， 所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0. 即a＝0或b＝0或a⊥b. 问题 空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别.你能回答以下问题吗？ 追问(2) 对于三个均不为零的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c. 对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？ 不一定！ 由a·b = a·c，有a·(b－c）＝0. 从而有b＝c或a⊥(b－c）. 还有向量a与向量b-c垂直 追问(3) 对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则 或 .那么对于向量a，b，若a·b＝k，能写成 或 吗？ 不能！因为没有定义向量的除法运算. k k 追问(4) 对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc).对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？ 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等. 向量的数量积运算没有结合律. 例 　BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角. 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 典型例题 利用数量积求夹角 总结提升 用向量法求异面直线夹角的方法： 利用数量积求距离或长度 例 如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离. 用数量积证明垂直问题  总结 跟踪训练 1.已知