2.3 直线的交点坐标与距离公式 精讲（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导； 难点：两直线相交于二元二次方程的关系；应用两点间距离公式证明几何问题。 一、两条直线的交点 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 3、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 三、两点间的距离公式 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： 2、三种特殊距离： （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，. 四、点到直线的距离 1、定义：点到直线的垂线段的长度. 2、距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 五、两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长。 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等。 3、两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 六、三条直线相交问题的解题方法 1、已知三条直线相交于一点，求直线中的参数，只需求出其中两条直线的交点，利用该点也在第三条直线上即可求解。 2、若已知三条直线有三个不同的交点，则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上且三条直线的斜率不同。 题型一 两条直线相交的判定及求交点 【例1】（2023·全国·高二专题练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． （1），； （2），； （3），． 【变式1-1】（2022·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 题型二 根据两条直线交点情况求参数 【例2】．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）直线与直线相交，则实数k的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．且 【变式2-3】（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【变式2-4】（2023·全国·高二专题练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型三 三条直线相交问题 【例3】（2022·高二课时练习）若三直线：，：，：经过同一个点，则 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分