专题3 旋转重难点模型（5大类型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题3 旋转重难点模型（5大类型） 重难点题型归纳 【题型1 手拉手模型】 【题型2 “半角”模型】 【题型3 构造旋转模型解题 】 【题型4 奔驰模型】 【题型5 费马点模型】 模型一：“手拉手”模型 模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。 模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。 如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE 如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC 模型二： “半角”模型 模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角” 模型说明： （1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF （2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN² （3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。 模型三： 构造旋转模型解题 方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形. 常见图形旋转： （1）“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决． 模型四：奔驰模型 模型五：费马点模型 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 【题型1 “手拉手”模型】 【典例1】（2022春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD． （1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长； （2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长． 【变式1-1】（2022秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF． （1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由． （2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 【变式1-2】（2022九上·吉林期末）如图①，在中，，，点D，E分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点C逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度； （2）当绕点C逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【题型2 “半角”模型】 【典例2】（秋•锦江区期末）在△ABC中，AB＝AC，点E，F是边BC所在直线上与点B，C不重合的两点． （1）如图1，当∠BAC＝90°，∠EAF＝45°时，直接写出线段BE，CF，EF的数量关系；（不必证明） （2）如图2，当∠BAC＝60°，∠EAF＝30°时，已知BE＝3，CF＝5，求线段EF的长度； （3）如图3，当∠BAC＝90°，∠EAF＝135°时，请探究线段CE，BF，EF的数量关系，并证明． 【变式2-1】（春•金牛区校级期中）类比探究： （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处） （2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2； （3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值． 【变式2-2】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形ABCD，点E、F